044 이차방정식의 풀이: 인수분해와 근의 공식 완전 정복! 🔑
안녕하세요, 수학 해결사 친구들! 👋 이차방정식이 무엇인지, 그리고 그 근이 어떤 종류가 있는지 알아보았죠? 오늘은 드디어 이 이차방정식을 푸는 구체적인 방법들에 대해 배울 시간이에요! 이차방정식의 해(근)를 구하는 방법에는 크게 세 가지가 있답니다: 인수분해를 이용한 풀이, 완전제곱식을 이용한 풀이, 그리고 가장 강력한 도구인 근의 공식을 이용한 풀이! 이 방법들을 익히면 어떤 이차방정식을 만나도 자신 있게 해를 찾아낼 수 있을 거예요. 함께 이차방정식 풀이의 달인이 되어봅시다! 🚀
📝 핵심만정리: 이차방정식 풀이법, 세 가지 전략!
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a \neq 0)을 푸는 주요 방법은 다음과 같아요.
- 인수분해를 이용한 풀이:
- 좌변 ax2 + bx + c를 두 일차식의 곱으로 인수분해해요. (예: (px+q)(rx+s)=0)
- 그 후, AB=0 \iff A=0 또는 B=0 임을 이용하여 각 일차식이 0이 되는 x의 값을 구해요.
- 완전제곱식을 이용한 풀이:
- 주어진 이차방정식을 (x-p)2 = q 꼴로 변형해요.
- 그 후, 제곱근의 정의를 이용하여 x-p = \pm\sqrt{q} ⇒ x = p \pm\sqrt{q} 로 해를 구해요.
- (이 방법은 근의 공식을 유도하는 과정이기도 해요!)
- 근의 공식을 이용한 풀이:
- 인수분해가 쉽지 않을 때 사용하는 가장 일반적이고 강력한 방법이에요!
- 계수가 실수인 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 해는:
x = (-b ± √(b2 – 4ac))⁄2a
- 특히, 일차항의 계수 b가 짝수일 때 (b = 2b’)는 짝수 공식을 사용하면 계산이 더 간편해요:
x = (-b’ ± √(b’2 – ac))⁄a
🧩 방법 1: 인수분해를 이용한 풀이
개념정리 44-1: AB=0의 마법!
이차방정식의 좌변이 두 일차식의 곱으로 인수분해가 가능하다면, 우리는 아주 중요한 성질인 AB=0 \iff A=0 또는 B=0을 이용하여 해를 쉽게 구할 수 있어요.
즉, 이차방정식 ax2+bx+c=0을 인수분해하여 (px+q)(rx+s)=0 꼴로 만들었다면, 이 등식이 성립하기 위해서는
px+q = 0 또는 rx+s = 0
이어야 해요. 이 두 개의 일차방정식을 각각 풀면 이차방정식의 두 해를 얻을 수 있답니다.
예시: 이차방정식 2x2 – x – 1 = 0을 풀어봅시다.
1. 좌변을 인수분해해요: (2x + 1)(x – 1) = 0
2. AB=0의 성질을 이용해요:
2x + 1 = 0 또는 x – 1 = 0
3. 각 일차방정식을 풀어요:
2x = -1 ⇒ x = –1⁄2
x = 1
따라서 해는 x = –1⁄2 또는 x = 1 입니다.
인수분해가 가능하다면 가장 간단하고 빠른 풀이 방법이에요!
🧱 방법 2: 완전제곱식을 이용한 풀이
개념정리 44-2: (x-p)2 = q 꼴로 변신!
모든 이차방정식이 쉽게 인수분해되는 것은 아니에요. 그럴 때 사용할 수 있는 방법 중 하나가 바로 완전제곱식을 이용하는 것이랍니다. 이 방법은 주어진 이차방정식을 (x-p)2 = q 또는 (완전제곱식) = (상수) 꼴로 변형한 후, 제곱근의 정의를 이용하여 해를 구하는 방식이에요.
[완전제곱식 이용 풀이 단계] (예: ax2+bx+c=0)
- 이차항의 계수 a로 양변을 나누어 x2의 계수를 1로 만들어요: x2 + (b⁄a)x + (c⁄a) = 0
- 상수항을 우변으로 이항해요: x2 + (b⁄a)x = -(c⁄a)
- 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 x의 계수(b⁄a)의 절반(b⁄2a)의 제곱((b⁄2a)2)을 양변에 더해요.
- 좌변을 완전제곱식 (x + b⁄2a)2으로 바꾸고, 우변을 정리해요.
- 제곱근을 이용하여 x + b⁄2a = ±√(우변의 값)으로 만들고 x에 대해 풀어요.
예시: 이차방정식 x2 – 6x + 7 = 0을 풀어봅시다. (교재 예시 변형)
1. x2의 계수는 이미 1이네요.
2. 상수항 이항: x2 – 6x = -7
3. x의 계수 -6의 절반은 -3, 그 제곱은 (-3)2 = 9. 양변에 9를 더해요.
x2 – 6x + 9 = -7 + 9
4. 좌변을 완전제곱식으로, 우변 정리: (x – 3)2 = 2
5. 제곱근 이용: x – 3 = ±√2
따라서 해는 x = 3 ± √2 (즉, x = 3 + √2 또는 x = 3 – √2)
이 완전제곱식을 이용한 풀이 과정이 바로 다음에 배울 ‘근의 공식’을 유도하는 과정이기도 하답니다!
🔧 방법 3: 근의 공식을 이용한 풀이 (만능 열쇠!)
개념정리 44-3: 어떤 이차방정식이든 OK!
인수분해가 바로 보이지 않거나 완전제곱식으로 변형하기 번거로울 때, 우리에게는 어떤 이차방정식이든 해를 구할 수 있는 만능 열쇠, 바로 근의 공식이 있어요!
계수가 실수인 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해는 다음과 같아요:
x = (-b ± √(b2 – 4ac))⁄2a
이 공식에 a, b, c 값을 정확히 대입하기만 하면 바로 해를 구할 수 있답니다! (단, b2-4ac가 음수이면 i를 사용한 허근이 나오겠죠?)
특히, 일차항의 계수 b가 짝수일 때, 즉 b = 2b’ (여기서 b’은 b의 절반)일 경우에는 계산을 더 간편하게 할 수 있는 짝수 공식 (또는 b’ 공식)을 사용할 수 있어요.
이차방정식 ax2 + 2b’x + c = 0 (a ≠ 0)의 해는:
x = (-b’ ± √(b’2 – ac))⁄a
예시 1: 2x2 – 3x + 2 = 0을 근의 공식으로 풀어봅시다.
a=2, b=-3, c=2 이므로,
x = (-(-3) ± √((-3)2 – 4 \cdot 2 \cdot 2))⁄(2 \cdot 2)
= (3 ± √(9 – 16))⁄4 = (3 ± √(-7))⁄4
= (3 ± √7i)⁄4 (서로 다른 두 허근)
예시 2: x2 + 2x – 1 = 0을 짝수 공식으로 풀어봅시다.
a=1, b’=1 (왜냐하면 b=2=2 \times 1), c=-1 이므로,
x = (-1 ± √(12 – 1 \cdot (-1)))⁄1
= -1 ± √(1 + 1)
= -1 ± √2 (서로 다른 두 실근)
근의 공식은 언제나 옳다! (계수가 실수일 때)
이차방정식의 근의 공식은 계수 a, b, c가 실수인 경우, 해가 실근이든 허근이든 관계없이 항상 성립해요. 인수분해가 어려운 경우 가장 확실한 방법이랍니다!
🧐 개념확인 문제: 이차방정식 풀이 연습!
이제 배운 방법들을 활용해서 이차방정식을 직접 풀어봅시다!
다음 이차방정식을 푸시오. (PDF 문제 활용)
- x2 – 2x – 3 = 0 (인수분해 이용)
- 4x2 – 12x + 9 = 0 (인수분해 이용, 중근)
- x2 + 5x + 1 = 0 (근의 공식 이용)
정답 및 해설:
-
x2 – 2x – 3 = 0
좌변 인수분해: (x – 3)(x + 1) = 0
따라서 x – 3 = 0 또는 x + 1 = 0
x = 3 또는 x = -1
-
4x2 – 12x + 9 = 0
좌변 인수분해 (완전제곱식): (2x – 3)2 = 0
따라서 2x – 3 = 0
x = 3⁄2 (중근)
-
x2 + 5x + 1 = 0
인수분해가 쉽지 않으므로 근의 공식을 사용해요. (a=1, b=5, c=1)
x = (-5 ± √(52 – 4 \cdot 1 \cdot 1))⁄(2 \cdot 1)
= (-5 ± √(25 – 4))⁄2
= (-5 ± √21)⁄2
이차방정식의 형태를 보고 어떤 풀이 방법이 가장 효율적일지 판단하는 연습을 하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 이차방정식을 푸는 세 가지 주요 방법인 인수분해, 완전제곱식 이용, 그리고 근의 공식에 대해 자세히 배웠습니다. 인수분해가 가능하면 가장 빠르고, 그렇지 않다면 근의 공식이라는 강력한 도구가 있다는 것을 알게 되었죠! 특히 근의 공식은 어떤 이차방정식이든 해를 구할 수 있게 해주므로 반드시 익숙해져야 합니다. 오늘 배운 내용들을 바탕으로 다양한 이차방정식 문제에 도전해 보세요! 여러분의 수학 실력이 한 단계 더 성장할 거예요! 💪