031 복소수가 서로 같을 조건: 실수부분과 허수부분을 비교하라! 🤝
안녕하세요, 수학의 정의를 탐구하는 친구들! 👋 우리가 복소수를 a+bi 꼴로 나타내는 것을 배웠죠? 그렇다면 두 복소수가 “서로 같다”는 것은 무엇을 의미할까요? 오늘은 바로 이 복소수가 서로 같을 조건에 대해 알아볼 거예요. 이 조건은 마치 두 사람이 똑같다고 말하려면 이름도 같고, 생일도 같아야 하는 것처럼, 복소수도 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 한다는 아주 명쾌한 규칙이랍니다. 이 규칙을 알면 복소수를 포함한 등식에서 미지의 값을 찾는 데 유용하게 사용할 수 있어요! 🧐
📝 핵심만정리: 두 복소수가 같으려면?
실수 a, b, c, d에 대하여 두 복소수 a+bi와 c+di가 서로 같을 조건은 다음과 같아요.
- a + bi = c + di ⇔ a = c 이고 b = d 이다.
(즉, 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 서로 같아야 해요!) - a + bi = 0 ⇔ a = 0 이고 b = 0 이다.
(어떤 복소수가 0이라는 것은, 실수부분도 0이고 허수부분도 0이라는 뜻이에요. 여기서 0은 0+0i로 생각할 수 있죠. )
이 조건은 문제에서 미지의 실수 값을 결정할 때 아주 중요하게 사용된답니다!
⚖️ 복소수가 서로 같을 조건 자세히 알기
개념정리 31-1: 실수부분과 허수부분의 일치!
두 복소수 z1 = a+bi 와 z2 = c+di (여기서 a,b,c,d는 모두 실수)가 있다고 해봅시다.
이 두 복소수가 서로 같다는 것, 즉 z1 = z2 라는 것은 실수부분은 실수부분끼리 같고, 허수부분은 허수부분끼리 같아야 한다는 것을 의미해요.
a + bi = c + di ⇔ a = c 그리고 b = d
예시:
- 만약 x + yi = 3 – 2i 이고 x, y가 실수라면,
실수부분 비교: x = 3
허수부분 비교: y = -2 가 됩니다. - 만약 (a-1) + (b+3)i = 0 이고 a, b가 실수라면,
실수부분: a-1 = 0 ⇒ a = 1
허수부분: b+3 = 0 ⇒ b = -3 이 됩니다.
이 조건은 마치 두 개의 정보를 하나의 등식으로 표현한 것과 같아요. 실수 부분에 대한 등식 하나, 허수 부분에 대한 등식 하나가 숨어있는 셈이죠!
🚨 실수 조건의 중요성: 왜 a,b,c,d는 실수여야 할까요?
개념정리 31-2: 문자가 실수라는 조건이 없다면?
복소수가 서로 같을 조건을 사용할 때 아주 중요한 전제 조건이 있어요. 바로 복소수의 실수부분과 허수부분을 이루는 문자들(예: a, b, c, d)이 모두 실수여야 한다는 점이에요.
만약 이 ‘실수’라는 조건이 없다면 어떻게 될까요?
예를 들어, a + bi = 0 이라는 등식이 있다고 해봅시다.
- 만약 a, b가 실수라면, 우리는 a=0, b=0 이라고 단정할 수 있어요.
- 하지만 a, b가 실수라는 조건이 없다면, 다른 가능성이 생겨요.
예를 들어, a = i 이고 b = -1 이면, a+bi = i + (-1)i = i – i = 0 이 되죠. 이때 a≠0, b≠0이지만 등식이 성립해요!
또는 a = 2i 이고 b = -2 여도 a+bi = 2i + (-2)i = 0 이 됩니다.
이처럼 문자 a,b,c,d가 실수라는 조건이 없으면, 실수부분끼리 같고 허수부분끼리 같다는 결론을 내릴 수 없게 돼요. 따라서 문제에서 복소수가 서로 같을 조건을 이용해야 할 때는, 관련된 문자들에 ‘실수’ 조건이 있는지 반드시 확인해야 합니다!
무리수가 서로 같을 조건과의 비교 🌿
이것은 무리수가 서로 같을 조건과 비슷해요. a,b,c,d가 유리수이고 √m이 무리수일 때,
a + b√m = c + d√m ⇔ a = c 이고 b = d
a + b√m = 0 ⇔ a = 0 이고 b = 0
이 성립했었죠? 여기서도 a,b,c,d가 ‘유리수’라는 조건이 중요했어요. 복소수에서도 마찬가지로 계수가 ‘실수’라는 조건이 핵심이랍니다.
🧐 개념확인 문제: 미지의 실수 값 찾기!
이제 복소수가 서로 같을 조건을 이용해서 미지의 실수 x, y의 값을 구해봅시다!
다음 등식을 만족시키는 실수 x, y의 값을 구하시오. (PDF 문제 활용)
- x – yi = 2 + 3i
- (x + 1) + (4 – y)i = 0
- (x – y) – 6i = 2 + yi
정답 및 해설:
두 복소수가 서로 같으려면 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 합니다. (단, x,y는 실수)
-
x – yi = 2 + 3i
실수부분 비교: x = 2
허수부분 비교: -y = 3 ⇒ y = -3
따라서 x = 2, y = -3
-
(x + 1) + (4 – y)i = 0 (여기서 0은 0 + 0i)
실수부분 비교: x + 1 = 0 ⇒ x = -1
허수부분 비교: 4 – y = 0 ⇒ y = 4
따라서 x = -1, y = 4
-
(x – y) – 6i = 2 + yi
실수부분 비교: x – y = 2 ··· ①
허수부분 비교: -6 = y ⇒ y = -6
y = -6을 ①에 대입하면: x – (-6) = 2 ⇒ x + 6 = 2 ⇒ x = -4
따라서 x = -4, y = -6
주어진 등식에서 실수부분과 허수부분을 정확히 분리하고 비교하는 것이 중요해요. 특히 관련된 모든 문자가 ‘실수’라는 조건을 잊지 마세요! 😉
오늘은 두 복소수가 서로 같기 위한 조건, 즉 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 같아야 한다는 중요한 성질에 대해 배웠습니다. 그리고 이 조건이 성립하기 위해서는 비교 대상이 되는 복소수의 실수부분과 허수부분을 이루는 계수들이 ‘실수’여야 한다는 점도 강조했죠. 이 조건은 복소수를 포함하는 등식에서 미지의 값을 찾아내는 데 매우 유용하게 사용된답니다. 오늘도 새로운 개념을 익히느라 수고 많으셨어요! 다음 시간에는 복소수의 특별한 짝꿍, ‘켤레복소수’에 대해 알아보겠습니다! 기대해주세요! 😊