다항식 f(x)를 일차식으로 나누었을 때의 나머지는 다음과 같이 구할 수 있어요.

1. 다항식 f(x)를 일차식 x – α로 나누었을 때의 나머지는 f(α)와 같아요.
   (즉, 나누는 일차식을 0으로 만드는 x의 값 α를 원래 다항식 f(x)에 대입한 값이 바로 나머지예요!)
2. 다항식 f(x)를 일차식 ax + b로 나누었을 때의 나머지는 f(-^b⁄_a)와 같아요.
   (이것도 마찬가지로 나누는 일차식 ax+b를 0으로 만드는 x의 값, 즉 x = –^b⁄_a를 f(x)에 대입한 값이에요.)

주의! 나머지정리는 다항식을 일차식으로 나눌 때만 사용할 수 있고, 이때 나머지는 항상 상수가 됩니다.

개념정리 16-1: 직접 나누지 않고 나머지를 구하는 방법

나머지정리는 이름 그대로 다항식의 나눗셈에서 나머지를 구하는 데 특화된 정리예요. 특히, 어떤 다항식 f(x)를 x에 대한 일차식으로 나누었을 때, 직접 나눗셈을 하지 않고도 그 나머지를 매우 간단하게 구할 수 있도록 도와주는 강력한 도구랍니다.

이 정리의 핵심은 “나누는 일차식을 0으로 만드는 x의 값을 원래 다항식에 대입하면 그 결과가 바로 나머지다!”라는 거예요.

개념정리 16-2: 항등식의 성질을 이용한 증명

나머지정리가 어떻게 성립하는지 그 원리를 알아보면 더욱 확실하게 이해할 수 있어요. 핵심은 바로 다항식 나눗셈에 대한 등식 A = BQ + R이 항등식이라는 점이에요.

1. f(x)를 x – α로 나눌 때

다항식 f(x)를 일차식 x – α로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R이라고 하면 (이때 R은 상수예요. 왜냐하면 1차식으로 나누었으니까 나머지는 0차식, 즉 상수여야 하죠! ), 다음과 같은 항등식을 세울 수 있어요:

f(x) = (x – α)Q(x) + R

이 식은 x에 대한 항등식이므로, x에 어떤 값을 대입해도 항상 성립해야 해요. 여기서 마법의 열쇠는 바로 (x – α)Q(x) 부분을 0으로 만드는 값을 대입하는 거예요!

양변에 x = α를 대입해 보면:

f(α) = (α – α)Q(α) + R

f(α) = (0) \cdot Q(α) + R

f(α) = 0 + R

따라서, R = f(α) 가 성립하는 것을 알 수 있죠!

2. f(x)를 ax + b로 나눌 때

마찬가지로, 다항식 f(x)를 일차식 ax + b (a \neq 0)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R (상수)이라고 하면 다음 항등식이 성립해요:

f(x) = (ax + b)Q(x) + R

이 항등식의 양변에 ax + b = 0이 되게 하는 x 값, 즉 x = –^b⁄_a를 대입하면:

f(-^b⁄_a) = (a(-^b⁄_a) + b)Q(-^b⁄_a) + R

f(-^b⁄_a) = (-b + b)Q(-^b⁄_a) + R

f(-^b⁄_a) = (0) \cdot Q(-^b⁄_a) + R

따라서, R = f(-^b⁄_a) 가 성립합니다!