최근 3개년 평가원 수학 I ‘수열의 귀납적 정의’ 문항 분석
2022~2025학년도 평가원 주관 시험 대상 심층 분석 보고서
I. 핵심 요약 (Executive Summary)
- ‘준킬러’ 단골 문항: 객관식 15번, 주관식 21번 또는 22번에 배치되어 높은 사고력을 요구하는 문항으로 완전히 자리 잡았습니다.
- ‘역추론’은 필수: 특정 항 $a_k$의 값을 제시하고 첫째항 $a_1$이나 다른 항을 역으로 찾아가는 ‘역추론’ 방식이 절대 다수를 차지합니다.
- ‘케이스 분류’ 유발: 역추론 과정에서 $a_n$이 될 수 있는 후보가 여러 개 발생하여, 모든 가능성을 체계적으로 탐색하고 조건에 맞지 않는 경우를 배제하는 능력이 핵심입니다.
- ‘조건부 점화식’ 일반화: $a_n$의 특정 조건(예: 홀수/짝수, 3의 배수 여부)에 따라 점화식이 달라지는 형태가 일반적입니다.
- ‘자연수/정수’ 조건의 적극 활용: ‘모든 항이 자연수(또는 정수)’라는 조건은 케이스 분류 과정에서 특정 분기(branch)를 제거하는 매우 강력한 필터 역할을 합니다.
II. 주요 특징 상세 분석
1. ‘준킬러’ 이상의 고난도 문항으로 고착화
과거처럼 $n$에 1, 2, 3…을 순차적으로 대입하여 규칙을 찾는 문제가 아닙니다. 수험생의 논리적 추론 능력, 끈기, 그리고 체계적인 탐색 능력을 종합적으로 평가하는 문제로 진화했습니다.
2. ‘역추론’과 ‘케이스 분류’는 기본 소양
$a_k$ 값으로부터 $a_{k-1}$의 후보를 찾을 때, 점화식을 $a_n$에 대해 정리해야 합니다. 이 과정에서 여러 가능성이 생겨나 마치 ‘가지치기’처럼 모든 경로를 탐색해야 합니다. 예를 들어 $a_5=10$일 때 $a_4$는 $8$일 수도, $-20$일 수도 있는 상황이 발생하며, 이 두 경우를 모두 끝까지 추적해야 합니다.
3. 조건에 따라 달라지는 점화식 구조
가장 흔한 출제 형식으로, 문제 해결의 핵심은 각 단계에서 ‘어떤 조건 때문에 어떤 점화식이 사용되었는가’를 논리적으로 판단하는 것입니다. 대표적인 구조는 다음과 같습니다.
$$ a_{n+1} = \begin{cases} f(a_n) & (a_n \text{이 조건 A를 만족할 때}) \\ g(a_n) & (a_n \text{이 조건 B를 만족할 때}) \end{cases} $$최근에는 이 조건이 $a_n$이 아닌 $S_n$(n항까지의 합)이나 $a_{n+2}$ 등 더욱 복잡한 변수에 따라 결정되는 추세도 보입니다.
4. 추가적인 제약 조건의 적극 활용
‘모든 항이 자연수’ 외에도 ‘$|a_n| < M$', '$a_p + a_q = 0$' 과 같은 추가 조건이 제시됩니다. 이 조건들은 수많은 케이스 분류의 가짓수 중 정답이 되는 유일한 경로를 찾아내는 결정적인 단서가 됩니다.
III. 대표 기출 문항 분석
2023학년도 수능 15번
특징: $a_{n+2}$가 3의 배수인지 아닌지에 따라 $a_{n+2}$가 결정되는 복잡한 구조를 가집니다. ($a_{n+2} = a_{n+1}+a_n$ 형태 변형) $a_9$를 통해 $a_7, a_8$을 역추론하고, ‘모든 항이 자연수’라는 조건을 활용하여 케이스를 효과적으로 제거하는 전형적인 역추론 문제입니다.
2024학년도 수능 15번
특징: $a_n$이 홀수/짝수인지에 따라 $a_{n+1}$이 결정되는 가장 대표적인 유형입니다. ($a_{n+1}=2^{a_n}$ 또는 $a_{n+1}=a_n/2$) $a_6+a_7=3$이라는 결정적 단서를 통해 가능한 모든 $a_1$ 값을 찾아야 하는 문제입니다.
2025학년도 6월 모의평가 21번
특징: $a_n$이 정수인지 아닌지에 따라 $a_{n+1}$이 결정되는 구조입니다. $a_5=5$에서 출발하여 $a_1$을 역추론하며, ‘모든 항이 정수’라는 조건이 어떤 케이스를 걸러내는 데 결정적으로 사용됩니다.
IV. 변형문제 제작을 위한 제언 (Actionable Insights)
1. ‘조건’을 변형하라
점화식이 바뀌는 조건을 ‘홀수/짝수’, ‘3의 배수’에서 ‘$log_2 a_n$이 자연수일 때’, ‘$a_n$이 $n^2-10n+21 > 0$을 만족할 때’, ‘$S_n$이 양수일 때’ 등으로 새롭게 설정하여 익숙함을 탈피시킬 수 있습니다.
2. ‘역추론의 목표’를 비틀어라
항상 $a_1$의 값을 묻지 말고, ‘가능한 모든 $a_2$의 합을 구하시오’, ‘$a_k = a_1$을 만족시키는 50 이하의 모든 자연수 $k$의 합을 구하시오’ 와 같이 질문을 변형하여 고정관념을 깰 수 있습니다.
3. ‘다른 개념’과 융합하라
수열의 항을 좌표평면 위의 점 $(n, a_n)$으로 설정하고, 이 점이 직선 $y=x+1$의 위 또는 아래에 있는지에 따라 규칙이 바뀌는 문제를 구상할 수 있습니다. 또한 $a_n$에 삼각함수를 합성하여 $sin(\frac{a_n\pi}{2}) > 0$ 인지 아닌지에 따라 점화식이 바뀌는 등 더욱 복잡한 조건을 제시할 수 있습니다.
4. ‘제약 조건’을 새롭게 하라
‘모든 항이 자연수’ 대신 ‘모든 항의 절댓값이 10을 넘지 않는다’, ‘수열의 항 중 양수의 개수는 4개이다’ 와 같은 창의적인 제약 조건을 추가하여 케이스를 필터링하는 새로운 재미를 줄 수 있습니다.