쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
533번 · 직사각형 내 수선의 발 — 넓이의 합 조건으로 \(AP\) 결정 [교육청 기출]
— 닮음으로 \(SD=2x\) → 두 사각형 넓이의 합 이차방정식!
🔥 C단계 고난도📋 교육청 기출
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (기하 응용 이차방정식)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 AP=x로 놓고 △ABD∽△SOD(AA닮음) → SD=2x 도출
- 📐 □APOS=x(4−2x), □OQCR=(2−x)·2x → 합=8x−4x²=3
- 🎯 AP
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
AB=2, BC=4인 직사각형 ABCD에서 대각선 BD 위의 점 O에서 네 변에 내린 수선의 발을 P, Q, R, S라 할 때,
사각형 APOS와 사각형 OQCR의 넓이의 합이 3이고 AP<PB일 때, AP의 길이를 구하는 교육청 기출 문제입니다.
🗝️ 풀이 구조
AP=x로 놓기 → 닮음으로 SD 표현 → 두 사각형 넓이 계산 → 이차방정식
AP=x로 놓기 → 닮음으로 SD 표현 → 두 사각형 넓이 계산 → 이차방정식
✏️ 단계별 풀이
1
AP=x로 설정 및 닮음 관계 파악
\(AP=x\)로 놓으면 \(PB=2-x\) (AB=2이므로)
O는 BD 위의 점, P는 AB에 내린 수선의 발, S는 AD에 내린 수선의 발
\(\triangle ABD\sim\triangle SOD\) (AA 닮음)
닮음비 = \(AP:PB\) 관계에서 \(SD=\dfrac{BC}{AB}\cdot AP=\dfrac{4}{2}\cdot x=2x\)
\(AP=x\)로 놓으면 \(PB=2-x\) (AB=2이므로)
O는 BD 위의 점, P는 AB에 내린 수선의 발, S는 AD에 내린 수선의 발
\(\triangle ABD\sim\triangle SOD\) (AA 닮음)
닮음비 = \(AP:PB\) 관계에서 \(SD=\dfrac{BC}{AB}\cdot AP=\dfrac{4}{2}\cdot x=2x\)
2
두 사각형 넓이 계산
사각형 APOS: 가로=AP=x, 세로=AS=4−2x (AD=4이고 SD=2x이므로)
\[\text{□APOS}=x(4-2x)=4x-2x^2\]
사각형 OQCR: 가로=QB=PB=2−x, 세로=QC=2x
\[\text{□OQCR}=(2-x)\cdot2x=4x-2x^2\]
사각형 APOS: 가로=AP=x, 세로=AS=4−2x (AD=4이고 SD=2x이므로)
\[\text{□APOS}=x(4-2x)=4x-2x^2\]
사각형 OQCR: 가로=QB=PB=2−x, 세로=QC=2x
\[\text{□OQCR}=(2-x)\cdot2x=4x-2x^2\]
3
조건 적용 — 이차방정식 수립
\[(4x-2x^2)+(4x-2x^2)=3\] \[8x-4x^2=3 \implies 4x^2-8x+3=0 \implies (2x-1)(2x-3)=0\] \[x=\frac{1}{2} \text{ 또는 } x=\frac{3}{2}\]
\[(4x-2x^2)+(4x-2x^2)=3\] \[8x-4x^2=3 \implies 4x^2-8x+3=0 \implies (2x-1)(2x-3)=0\] \[x=\frac{1}{2} \text{ 또는 } x=\frac{3}{2}\]
4
AP<PB 조건으로 해 선택
\(AP<PB\)에서 \(x<2-x\), 즉 \(x<1\)
\(x=\dfrac{1}{2}\) ✅ (\(x=\dfrac{3}{2}\)는 \(x>1\)이므로 제외)
\(AP<PB\)에서 \(x<2-x\), 즉 \(x<1\)
\(x=\dfrac{1}{2}\) ✅ (\(x=\dfrac{3}{2}\)는 \(x>1\)이므로 제외)
정답 : ① \(AP=\dfrac{1}{2}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
직사각형 내 수선의 발 문제 루틴
① 한 변의 길이를 x로 설정
② 닮음(AA, SAS 등)으로 나머지 길이를 x의 식으로 표현
③ 넓이 조건으로 이차방정식 수립
④ 추가 조건(AP<PB 등)으로 적절한 근 선택
① 한 변의 길이를 x로 설정
② 닮음(AA, SAS 등)으로 나머지 길이를 x의 식으로 표현
③ 넓이 조건으로 이차방정식 수립
④ 추가 조건(AP<PB 등)으로 적절한 근 선택
⚠️ 이런 실수 조심!
- SD=2x를 닮음에서 올바르게 구하는 것이 가장 어려운 부분 — 해설 영상을 반드시 확인!
- AP<PB 조건 확인 없이 두 근을 모두 답으로 쓰는 실수 — x<1이어야 하므로 x=1/2만 유효!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
7분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
