쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
460번 · 이차방정식 활용 — 넓이 (정사각형 → 직사각형)
— 미지수 설정 → 넓이 관계식 → 이차방정식 풀기
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (이차방정식 활용 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 미지수 설정 → 관계식 → 이차방정식의 3단계 흐름
- 📐 넓이 조건에서 이차방정식 세우기
- ⚠️ 범위 조건(\(x>6\)) 확인의 중요성
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
정사각형 모양의 땅에서 가로를 6m 줄이고 세로를 4m 늘여 만든 직사각형의 넓이가 처음 정사각형 넓이의 \(\dfrac{2}{3}\)가 되었습니다. 처음 정사각형의 한 변의 길이를 구하는 문제입니다.
🗝️ 미지수 설정
정사각형의 한 변의 길이를 \(x\) m라 하면:
▸ 처음 넓이: \(x^2\)
▸ 새 직사각형 가로: \(x-6\), 세로: \(x+4\)
▸ 새 직사각형 넓이: \((x-6)(x+4)\)
▸ 조건: 새 넓이 = 처음의 \(\frac{2}{3}\)배
정사각형의 한 변의 길이를 \(x\) m라 하면:
▸ 처음 넓이: \(x^2\)
▸ 새 직사각형 가로: \(x-6\), 세로: \(x+4\)
▸ 새 직사각형 넓이: \((x-6)(x+4)\)
▸ 조건: 새 넓이 = 처음의 \(\frac{2}{3}\)배
💡 단서는 여기에 있어요!
직사각형이 되려면 양쪽 변이 모두 양수여야 합니다.
→ 가로: \(x-6>0\) 이므로 \(x>6\) 조건이 반드시 필요!
이차방정식을 풀면 두 근이 나오는데, 이 조건을 만족하는 것만 정답입니다.
직사각형이 되려면 양쪽 변이 모두 양수여야 합니다.
→ 가로: \(x-6>0\) 이므로 \(x>6\) 조건이 반드시 필요!
이차방정식을 풀면 두 근이 나오는데, 이 조건을 만족하는 것만 정답입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
관계식 세우기
\[(x-6)(x+4) = \frac{2}{3}x^2\] 양변에 3을 곱하면: \[3(x-6)(x+4) = 2x^2\] \[3(x^2-2x-24) = 2x^2\] \[x^2-6x-72 = 0\]
\[(x-6)(x+4) = \frac{2}{3}x^2\] 양변에 3을 곱하면: \[3(x-6)(x+4) = 2x^2\] \[3(x^2-2x-24) = 2x^2\] \[x^2-6x-72 = 0\]
2
인수분해로 풀기
\[(x+6)(x-12) = 0\] \[x=-6 \quad\text{또는}\quad x=12\]
\[(x+6)(x-12) = 0\] \[x=-6 \quad\text{또는}\quad x=12\]
3
범위 조건으로 정답 선택
\(x>6\) 조건에서 \(x=-6\) 제외 ❌
\(\therefore\; x = 12\) ✅
\(x>6\) 조건에서 \(x=-6\) 제외 ❌
\(\therefore\; x = 12\) ✅
정답 : 처음 정사각형의 한 변의 길이 = 12 m
🧠 외워두면 좋은 패턴
이차방정식 활용 문제 4단계 루틴
길이 문제에서는 항상 “길이 > 0” 조건이 따라옵니다!
- 미지수 설정: 구하는 것을 \(x\)로 놓기
- 관계식 세우기: 문제 조건을 수식으로 변환
- 이차방정식 풀기: 인수분해 또는 근의 공식
- 범위 검증: 길이·넓이 등 현실적 조건으로 걸러내기
길이 문제에서는 항상 “길이 > 0” 조건이 따라옵니다!
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(x>6\) 조건을 확인하지 않고 \(x=-6\)을 정답으로 쓰는 실수 — 한 변의 길이는 반드시 양수!
- \(\frac{2}{3}x^2\) 항을 잘못 이항해 부호 실수 — 양변에 3을 먼저 곱해 분수를 없애고 전개하면 편리합니다.
- 전개 후 정리 시 \(3 \times (-24) = -72\) 계산 실수 — 부호 꼼꼼히!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분
⚡ 미지수 설정과 관계식 세우기를 빠르게 할 수 있도록 유사 문제를 5개 이상 풀어 감각을 익히세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
