쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
450번 · \(k\)에 관계없이 항상 근 — 항등식 조건
— \(k\)에 관한 항등식 분리로 \(a, b, c\) 결정
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (항등식 조건 핵심 설명)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 “k에 관계없이 성립” = 항등식 원리 완전 이해
- 📐 \(k\)의 계수 = 0, 상수항 = 0 으로 분리하는 방법
- ⚠️ 항등식 조건을 놓치는 실수 방지
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(kx^2 – (a+1)x – kb = 0\)이 실수 \(k\)의 값에 관계없이 항상 \(-1\)을 근으로 가질 때, 다른 한 근을 \(c\)라 하면 \(a+b+c\)의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 원리: “k에 관계없이 성립”이란?
어떤 식이 모든 \(k\)에 대해 항등적으로 0이 되려면,
→ \(k\)를 포함한 항의 계수 = 0
→ \(k\)를 포함하지 않는 항(상수항) = 0
이 두 조건이 동시에 만족되어야 합니다.
어떤 식이 모든 \(k\)에 대해 항등적으로 0이 되려면,
→ \(k\)를 포함한 항의 계수 = 0
→ \(k\)를 포함하지 않는 항(상수항) = 0
이 두 조건이 동시에 만족되어야 합니다.
💡 단서는 여기에 있어요!
\(x=-1\)을 대입하면 등식이 성립해야 하는데, 이것이 어떤 \(k\)에도 성립해야 한다는 점!
→ 대입 후 정리된 식을 \(k\)에 관한 식으로 보고 항등식 조건 적용
\(x=-1\)을 대입하면 등식이 성립해야 하는데, 이것이 어떤 \(k\)에도 성립해야 한다는 점!
→ 대입 후 정리된 식을 \(k\)에 관한 식으로 보고 항등식 조건 적용
✏️ 단계별 풀이
1
\(x=-1\) 대입
\[k(-1)^2 – (a+1)(-1) – kb = 0\] \[k + a + 1 – kb = 0\] \[(1-b)k + (a+1) = 0\]
\[k(-1)^2 – (a+1)(-1) – kb = 0\] \[k + a + 1 – kb = 0\] \[(1-b)k + (a+1) = 0\]
2
항등식 조건 적용 — \(a, b\) 결정
이 식이 모든 실수 \(k\)에 대해 성립하려면: \[\begin{cases} 1-b = 0 \\ a+1 = 0 \end{cases}\] \[\therefore\; b = 1,\quad a = -1\]
이 식이 모든 실수 \(k\)에 대해 성립하려면: \[\begin{cases} 1-b = 0 \\ a+1 = 0 \end{cases}\] \[\therefore\; b = 1,\quad a = -1\]
3
완성된 방정식에서 다른 한 근 \(c\) 구하기
\(a=-1, b=1\)을 대입하면: \[kx^2 – 0 \cdot x – k = 0 \implies kx^2 – k = 0 \implies k(x^2-1) = 0\] \(k \neq 0\)이면 \(x^2 = 1\), 즉 \(x = \pm 1\)
이미 알고 있는 근 \(x=-1\)이 아닌 다른 근: \(c = 1\)
\(a=-1, b=1\)을 대입하면: \[kx^2 – 0 \cdot x – k = 0 \implies kx^2 – k = 0 \implies k(x^2-1) = 0\] \(k \neq 0\)이면 \(x^2 = 1\), 즉 \(x = \pm 1\)
이미 알고 있는 근 \(x=-1\)이 아닌 다른 근: \(c = 1\)
4
최종 계산
\[a + b + c = -1 + 1 + 1 = 1\]
\[a + b + c = -1 + 1 + 1 = 1\]
정답 : ④ \(a+b+c = 1\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
“k에 관계없이 성립” 문제 필살 공식
주어진 조건 대입 후 정리된 식이
\[Ak + B = 0 \quad (\text{모든 }k)\] 꼴이 되면 반드시 \(A=0\)이고 \(B=0\)!
이것은 항등식의 핵심 성질입니다.
→ 수능에서도 항등식 조건은 반드시 출제되는 주요 유형!
주어진 조건 대입 후 정리된 식이
\[Ak + B = 0 \quad (\text{모든 }k)\] 꼴이 되면 반드시 \(A=0\)이고 \(B=0\)!
이것은 항등식의 핵심 성질입니다.
→ 수능에서도 항등식 조건은 반드시 출제되는 주요 유형!
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(k\)의 계수와 상수항을 분리하지 않고 특정 \(k\) 값만 대입해 풀려는 실수 — “관계없이”라는 말은 모든 \(k\)에 대해 성립해야 한다는 뜻!
- 다른 한 근 \(c\)를 구할 때 \(x=-1\)을 \(c\)로 쓰는 실수 — \(x=-1\)은 이미 주어진 근이고, \(c\)는 그 외의 근입니다.
- \(k=0\)일 때 방정식이 이차방정식이 아닌 점 — 보통 \(k \neq 0\)을 전제로 합니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
⚡ 항등식 조건은 암기만 해도 절반은 해결됩니다. “\(Ak+B=0\) (모든 \(k\)) → \(A=0, B=0\)”을 조건반사로 쓸 수 있을 때까지 반복하세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
