C단계 기출 🏆 교육청
🔥 0404번 — 복소수의 거듭제곱 — 주기 3 보기 판별 (기출)
🏆📋 교육청 기출! z=(−1+√3i)/2의 주기가 3이라는 핵심! z³=1, z+z²=−1을 이용해 보기를 판별하세요. ㄷ의 개수 세기가 함정! 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
z=(−1+√3i)/2에 대하여 ㄱ. z³=1, ㄴ. z⁴+z⁵=−1, ㄷ. zⁿ+z²ⁿ+z³ⁿ+z⁴ⁿ+z⁵ⁿ=−1의 개수가 66인지 판별하는 문제
z=(−1+√3i)/2에 대하여 ㄱ. z³=1, ㄴ. z⁴+z⁵=−1, ㄷ. zⁿ+z²ⁿ+z³ⁿ+z⁴ⁿ+z⁵ⁿ=−1의 개수가 66인지 판별하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
z=(−1+√3i)/2에서 z²=(−1−√3i)/2이고 z³=1 (주기 3)! 그리고 z+z²=−1, 1+z+z²=0이라는 성질을 활용하세요.
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z의 주기 확인
z = (−1+√3i)/2
z² = (−1−√3i)/2
z³ = z·z² = (−1+√3i)(−1−√3i)/4
= (1+3)/4 = 1 → 주기 3
z = (−1+√3i)/2
z² = (−1−√3i)/2
z³ = z·z² = (−1+√3i)(−1−√3i)/4
= (1+3)/4 = 1 → 주기 3
2
ㄱ. z³=1
위에서 확인! 참 ✓
위에서 확인! 참 ✓
3
ㄴ. z⁴+z⁵=−1
z⁴ = z³·z = z
z⁵ = z³·z² = z²
z⁴+z⁵ = z+z² = −1
참 ✓
z⁴ = z³·z = z
z⁵ = z³·z² = z²
z⁴+z⁵ = z+z² = −1
참 ✓
4
ㄷ. 조건 분석
zⁿ+z²ⁿ+z³ⁿ+z⁴ⁿ+z⁵ⁿ
n이 3의 배수가 아니면: zⁿ+z²ⁿ=−1이 반복
→ (−1)+(−1)+1 = −1 ✓
n이 3의 배수이면: 1+1+1+1+1 = 5 ✗
zⁿ+z²ⁿ+z³ⁿ+z⁴ⁿ+z⁵ⁿ
n이 3의 배수가 아니면: zⁿ+z²ⁿ=−1이 반복
→ (−1)+(−1)+1 = −1 ✓
n이 3의 배수이면: 1+1+1+1+1 = 5 ✗
5
개수 확인
100 이하에서 3의 배수: 33개
3의 배수가 아닌 수: 100−33 = 67개
66이 아니므로 거짓 ✗
100 이하에서 3의 배수: 33개
3의 배수가 아닌 수: 100−33 = 67개
66이 아니므로 거짓 ✗
6
결론
ㄱ, ㄴ만 옳음
ㄱ, ㄴ만 옳음
정답: ③
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
z=(−1+√3i)/2 (ω로도 불림)의 핵심 성질:
• z³=1 (주기 3)
• z+z²=−1, 1+z+z²=0
• z⁶=1, z와 z²는 켤레 관계
이 성질들을 외워두면 관련 문제를 빠르게 풀 수 있어요!
⚠️ 이것만 조심하세요!
ㄷ에서 n이 3의 배수일 때/아닐 때를 분류해야 해요! 100 이하에서 3의 배수의 개수(33)를 정확히 세는 것이 관건. 67≠66이므로 ㄷ은 거짓!
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선!
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
4~5분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: z³=1과 z+z²=−1만 알면 ㄱ, ㄴ은 즉시 판별! ㄷ은 3의 배수 개수 세기만 정확히 하면 돼요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히!
📚 관련 개념 포스트
🎯 마플시너지 추천 문제
C단계 전에 마플시너지로 중간 단계를 완성하세요!
🗺️ 추천 학습 순서
✍️ 연산 워크시트
→
📖 개념 포스트
→
🎯 마플시너지
기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀