C단계 고난도 🏆 최상
🔥 0399번 — 허수단위 i의 거듭제곱 — 1/iⁿ 급수
🏆 1/i=−i라는 핵심! 1/iⁿ의 부분합이 −1이 되는 n의 개수를 구해야 해요. 주기성을 이용한 개수 세기 문제! 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
1/i+1/i²+1/i³+⋯+1/iⁿ=−1이 성립하는 50 이하의 자연수 n의 개수를 구하는 문제
1/i+1/i²+1/i³+⋯+1/iⁿ=−1이 성립하는 50 이하의 자연수 n의 개수를 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
먼저 1/iᵏ를 정리! 1/i=−i, 1/i²=−1, 1/i³=i, 1/i⁴=1. 4개씩 합=0이므로 부분합은 주기적이에요!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
1/iᵏ 정리
1/i = i³/i⁴ = i³ = −i
1/i² = −1
1/i³ = i
1/i⁴ = 1
1/i = i³/i⁴ = i³ = −i
1/i² = −1
1/i³ = i
1/i⁴ = 1
2
4개씩 합
−i+(−1)+i+1 = 0
→ 4개씩 묶으면 합이 0!
−i+(−1)+i+1 = 0
→ 4개씩 묶으면 합이 0!
3
부분합 패턴
S₁ = −i
S₂ = −i−1 = −1−i
S₃ = −1−i+i = −1 ✓
S₄ = −1+1 = 0
→ 4개 주기: −i, −1−i, −1, 0
S₁ = −i
S₂ = −i−1 = −1−i
S₃ = −1−i+i = −1 ✓
S₄ = −1+1 = 0
→ 4개 주기: −i, −1−i, −1, 0
4
Sₙ=−1인 조건
n을 4로 나눈 나머지가 3일 때!
즉 n = 4m−1 (m=1,2,3,…)
n을 4로 나눈 나머지가 3일 때!
즉 n = 4m−1 (m=1,2,3,…)
5
50 이하 개수
4m−1 ≤ 50
4m ≤ 51
m ≤ 12.75
→ m = 1,2,…,12
n = 3,7,11,…,47
개수: 12
4m−1 ≤ 50
4m ≤ 51
m ≤ 12.75
→ m = 1,2,…,12
n = 3,7,11,…,47
개수: 12
정답: ③
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
1/iᵏ의 주기: −i, −1, i, 1 (주기 4)
부분합 패턴: −i, −1−i, −1, 0 (주기 4)
Sₙ=특정값이 되는 n의 개수 → 나머지 조건으로 등차수열!
⚠️ 이것만 조심하세요!
1/i=−i임을 모르면 시작조차 할 수 없어요! 1/i = i⁻¹ = i³ = −i로 기억하세요. 또한 n=4m−1≤50에서 m의 최댓값이 12인지 13인지 경계값을 정확히 확인해야 해요!
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
5~6분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
3~4분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: 부분합 패턴(−i, −1−i, −1, 0)을 빠르게 파악한 뒤 n=4m−1 조건을 세우면 간단한 부등식 문제로 바뀌어요!
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히!
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀