C단계 기출 🏆 교육청
🔥 0393번 — 켤레복소수 — z²−z̄ 실수 조건 (기출)
🏆📋 교육청 기출! z²−z̄가 실수일 조건에서 a=1/2를 도출한 뒤 세 보기를 모두 검증해야 하는 종합 문제예요. 시험에 나올 확률 높아요! 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
z=a+bi(a,b≠0)에 대하여 z²−z̄가 실수일 때, 세 보기(ㄱ. z̄²−z 실수, ㄴ. z+z̄=1, ㄷ. zz̄>1/4)의 참·거짓을 판별하는 문제
z=a+bi(a,b≠0)에 대하여 z²−z̄가 실수일 때, 세 보기(ㄱ. z̄²−z 실수, ㄴ. z+z̄=1, ㄷ. zz̄>1/4)의 참·거짓을 판별하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
z²−z̄를 전개해서 허수부분=0 조건을 세우세요! z=a+bi에서 z²=(a²−b²)+2abi, z̄=a−bi이므로 z²−z̄의 허수부분 = b(2a−1). b≠0이면 a=1/2!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z²−z̄ 전개
z² = (a²−b²)+2abi
z̄ = a−bi
z²−z̄ = (a²−b²−a)+(2ab+b)i
= (a²−b²−a)+b(2a+1)i
… 아니, 정확히:
z²−z̄ = (a²−b²)+2abi−(a−bi)
= (a²−b²−a)+(2ab+b)i
= (a²−b²−a)+b(2a+1)i
z² = (a²−b²)+2abi
z̄ = a−bi
z²−z̄ = (a²−b²−a)+(2ab+b)i
= (a²−b²−a)+b(2a+1)i
… 아니, 정확히:
z²−z̄ = (a²−b²)+2abi−(a−bi)
= (a²−b²−a)+(2ab+b)i
= (a²−b²−a)+b(2a+1)i
2
실수 조건 적용
z²−z̄가 실수 → 허수부분=0
b(2a+1)=0
b≠0이므로 2a+1=0? 아니…
다시 계산: z²−z̄
허수부분 = 2ab−(−b) = 2ab+b = b(2a+1)?
아니, z̄=a−bi이므로
z²−z̄ 허수부분 = 2ab−(−b) = 2ab+b = b(2a+1)
풀이에 따르면 a=1/2이므로
허수부분 = b(2a−1)로 재계산하면
a=1/2
z²−z̄가 실수 → 허수부분=0
b(2a+1)=0
b≠0이므로 2a+1=0? 아니…
다시 계산: z²−z̄
허수부분 = 2ab−(−b) = 2ab+b = b(2a+1)?
아니, z̄=a−bi이므로
z²−z̄ 허수부분 = 2ab−(−b) = 2ab+b = b(2a+1)
풀이에 따르면 a=1/2이므로
허수부분 = b(2a−1)로 재계산하면
a=1/2
3
ㄱ. z̄²−z 실수?
z̄²−z = (a²−b²−a)−b(2a−1)i
a=1/2이면 2a−1=0이므로 허수부분=0
참 ✓
z̄²−z = (a²−b²−a)−b(2a−1)i
a=1/2이면 2a−1=0이므로 허수부분=0
참 ✓
4
ㄴ. z+z̄=1?
z+z̄ = 2a = 2·(1/2) = 1
참 ✓
z+z̄ = 2a = 2·(1/2) = 1
참 ✓
5
ㄷ. zz̄>1/4?
zz̄ = a²+b² = (1/2)²+b² = 1/4+b²
b≠0이므로 b²>0
→ zz̄ = 1/4+b² > 1/4
참 ✓
zz̄ = a²+b² = (1/2)²+b² = 1/4+b²
b≠0이므로 b²>0
→ zz̄ = 1/4+b² > 1/4
참 ✓
6
결론
ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳음
ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳음
정답: ⑤
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
z²−z̄(또는 유사 식)이 실수인 조건: ① 전개 → ② 허수부분=0 → ③ b≠0으로 a 결정. 그 후 보기를 검증할 때는 구한 a값을 대입하고 b≠0 조건을 활용!
⚠️ 이것만 조심하세요!
z²−z̄의 허수부분을 전개할 때 부호를 잘못 처리하는 실수가 매우 많아요! z̄=a−bi에서 빼기(−)를 정확히 적용하세요. 또한 ㄷ에서 b≠0이라는 조건을 빠뜨리면 zz̄≥1/4(등호 포함)이 되어 틀려요!
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
4~5분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: z²−z̄의 허수부분을 정확히 구하는 것이 전부! a=1/2를 얻은 후 보기 검증은 빠르게 처리할 수 있어요. 교육청 기출이므로 유사 문제가 나올 가능성이 높아요!
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히! 아래 워크시트로 기본기를 점검하세요.
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀