C단계 고난도 🏆 최상
🔥 0392번 — 복소수의 상등 — 연립방정식 (개수 세기)
🏆 각 값의 제곱을 구한 뒤 개수로 연립! a₁~a₂₀이 −1, i, 1−i 중 하나일 때, 제곱의 합 조건에서 각각의 개수를 구하는 고급 문제예요. 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
a₁~a₂₀이 각각 −1, i, 1−i 중 하나이고 a₁²+a₂²+⋯+a₂₀²=8−12i일 때, a₁+a₂+⋯+a₂₀의 실수부분과 허수부분의 합을 구하는 문제
a₁~a₂₀이 각각 −1, i, 1−i 중 하나이고 a₁²+a₂²+⋯+a₂₀²=8−12i일 때, a₁+a₂+⋯+a₂₀의 실수부분과 허수부분의 합을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
먼저 각 값의 제곱을 구하세요!
• (−1)²=1, i²=−1, (1−i)²=−2i
그런 다음 −1의 개수를 x, i의 개수를 y, 1−i의 개수를 z로 놓고 연립방정식을 세우면 돼요!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
각 값의 제곱 계산
(−1)² = 1
i² = −1
(1−i)² = 1−2i+i² = 1−2i−1 = −2i
(−1)² = 1
i² = −1
(1−i)² = 1−2i+i² = 1−2i−1 = −2i
2
연립방정식 세우기
−1이 x개, i가 y개, 1−i가 z개라 하면
x+y+z = 20 …①
제곱의 합: x·1+y·(−1)+z·(−2i) = 8−12i
→ (x−y)+(-2z)i = 8−12i
−1이 x개, i가 y개, 1−i가 z개라 하면
x+y+z = 20 …①
제곱의 합: x·1+y·(−1)+z·(−2i) = 8−12i
→ (x−y)+(-2z)i = 8−12i
3
실수·허수 분리
실수부분: x−y = 8 …②
허수부분: −2z = −12 → z = 6 …③
실수부분: x−y = 8 …②
허수부분: −2z = −12 → z = 6 …③
4
x, y 구하기
③을 ①에 대입: x+y = 14
②와 연립: x−y = 8
→ 2x = 22 → x = 11, y = 3
③을 ①에 대입: x+y = 14
②와 연립: x−y = 8
→ 2x = 22 → x = 11, y = 3
5
합 계산
a₁+a₂+⋯+a₂₀
= 11·(−1)+3·i+6·(1−i)
= −11+3i+6−6i
= −5−3i
실수부분+허수부분 = −5+(−3) = −8
a₁+a₂+⋯+a₂₀
= 11·(−1)+3·i+6·(1−i)
= −11+3i+6−6i
= −5−3i
실수부분+허수부분 = −5+(−3) = −8
정답: −8
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
값이 여러 종류 중 하나일 때: ① 각 값의 제곱(또는 필요한 연산) 계산 → ② 개수를 미지수로 설정 → ③ ‘총 개수’ + ‘복소수 상등’ 조건으로 연립방정식!
⚠️ 이것만 조심하세요!
(1−i)²=−2i를 잘못 계산하면 연립방정식 자체가 틀려요! 또한 ‘실수부분과 허수부분의 합’이 아닌 ‘실수부분+허수부분’을 구해야 하는 점도 주의!
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
4~5분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: 제곱 계산 → 연립방정식 → 합 계산 순서가 명확하므로 각 단계를 빠르게 처리하면 시간을 줄일 수 있어요. (1−i)²=−2i는 반드시 외워두세요!
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히! 아래 워크시트로 기본기를 점검하세요.
📚 관련 개념 포스트
🎯 마플시너지 추천 문제
C단계 전에 마플시너지로 중간 단계를 완성하세요!
🗺️ 추천 학습 순서
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀