C단계 고난도 🏆 최상
🔥 0391번 — z⁴이 양의/음의 실수가 되는 조건
🏆 z⁴의 실수 조건을 z²로 변환! z⁴이 양의 실수 ⇔ z²이 실수, z⁴이 음의 실수 ⇔ z²이 순허수. 이 핵심 아이디어를 사용하세요! 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
z=(2−i)x−8−7i일 때, z⁴이 양의 실수/음의 실수가 되는 모든 실수 x에 대하여 b−a를 구하는 문제
z=(2−i)x−8−7i일 때, z⁴이 양의 실수/음의 실수가 되는 모든 실수 x에 대하여 b−a를 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
핵심 변환: z⁴이 양의 실수 ⇔ z²이 실수(≠0), z⁴이 음의 실수 ⇔ z²이 순허수(≠0). z²을 먼저 구한 뒤 조건을 적용하세요!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z를 a+bi 형태로
z = (2−i)x−8−7i
= 2x−xi−8−7i
= (2x−8)−(x+7)i
z = (2−i)x−8−7i
= 2x−xi−8−7i
= (2x−8)−(x+7)i
2
z² 계산
z² = (2x−8)²−(x+7)² + 2(2x−8)(x+7)·(−1)·i
… 아니, z=p+qi에서 z²=p²−q²+2pqi
p=2x−8, q=−(x+7)
실수부: (2x−8)²−(x+7)²
허수부: −2(2x−8)(x+7)
z² = (2x−8)²−(x+7)² + 2(2x−8)(x+7)·(−1)·i
… 아니, z=p+qi에서 z²=p²−q²+2pqi
p=2x−8, q=−(x+7)
실수부: (2x−8)²−(x+7)²
허수부: −2(2x−8)(x+7)
3
z⁴ 양의 실수 ⇒ z² 실수
z²이 실수 → 허수부분=0
−2(2x−8)(x+7)=0
→ x=4 또는 x=−7
x=4: z²=(0)²−(11)²=−121 → z⁴=121²>0 ✓
x=−7: z²=(−22)²−0²=484 → z⁴=484²>0 ✓
a = 4+(−7) = −3
z²이 실수 → 허수부분=0
−2(2x−8)(x+7)=0
→ x=4 또는 x=−7
x=4: z²=(0)²−(11)²=−121 → z⁴=121²>0 ✓
x=−7: z²=(−22)²−0²=484 → z⁴=484²>0 ✓
a = 4+(−7) = −3
4
z⁴ 음의 실수 ⇒ z² 순허수
z²이 순허수 → 실수부분=0
(2x−8)²−(x+7)²=0
(2x−8+x+7)(2x−8−x+7)=0
(3x−1)(x−15)=0
→ x=1/3 또는 x=15
x=1/3: z²순허수, z⁴<0 ✓
x=15: z²순허수, z⁴<0 ✓
b = (1/3)·15 = 5
z²이 순허수 → 실수부분=0
(2x−8)²−(x+7)²=0
(2x−8+x+7)(2x−8−x+7)=0
(3x−1)(x−15)=0
→ x=1/3 또는 x=15
x=1/3: z²순허수, z⁴<0 ✓
x=15: z²순허수, z⁴<0 ✓
b = (1/3)·15 = 5
5
최종 답
b−a = 5−(−3) = 8
b−a = 5−(−3) = 8
정답: 8
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
z⁴의 실수 조건 변환:
• z⁴>0 (양의 실수) ⇔ z²이 실수 (≠0)
• z⁴<0 (음의 실수) ⇔ z²이 순허수 (≠0)
이 변환을 외워두면 z⁴ 문제를 z² 문제로 낮출 수 있어요!
⚠️ 이것만 조심하세요!
z⁴이 양의 실수/음의 실수인 조건을 z²으로 변환하는 아이디어가 핵심! 이것을 모르면 z⁴을 직접 계산해야 해서 거의 풀 수 없어요. 또한 x를 구한 뒤 z⁴>0 또는 z⁴<0 확인을 반드시 하세요!
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
7~8분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
5~6분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: z⁴→z² 변환 후에는 ‘허수부분=0’ 또는 ‘실수부분=0’이라는 단순 조건! 인수분해를 빠르게 하는 것이 시간 단축의 핵심이에요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히! 아래 워크시트로 기본기를 점검하세요.
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀