B단계 유형 🔥 상
📘 0370번 — 조건을 만족시키는 복소수 구하기 — (z−z̄)²
🔥 zz̄+z̄/z=3 조건! z̄/z를 a, b로 표현한 뒤 실수·허수를 분리해야 하는 고급 문제예요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 흐름을 먼저 파악하고, 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
허수 z와 그 켤레복소수 z̄에 대하여 zz̄+z̄/z=3일 때, (z−z̄)²의 값을 구하는 문제
허수 z와 그 켤레복소수 z̄에 대하여 zz̄+z̄/z=3일 때, (z−z̄)²의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
z=a+bi(b≠0)로 놓으면 zz̄=a²+b², z̄/z=(a−bi)/(a+bi)! z̄/z를 분모 유리화해서 실수·허수를 분리한 뒤, 허수부분=0 조건에서 a=0을 얻으세요.
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z=a+bi 설정
zz̄ = a²+b²
z̄/z = (a−bi)/(a+bi)
분모 유리화: = (a−bi)²/(a²+b²)
= {(a²−b²)−2abi}/(a²+b²)
zz̄ = a²+b²
z̄/z = (a−bi)/(a+bi)
분모 유리화: = (a−bi)²/(a²+b²)
= {(a²−b²)−2abi}/(a²+b²)
2
조건식에 대입
zz̄+z̄/z = 3에서
(a²+b²) + (a²−b²)/(a²+b²) − {2ab/(a²+b²)}i = 3
3은 실수이므로 허수부분=0
zz̄+z̄/z = 3에서
(a²+b²) + (a²−b²)/(a²+b²) − {2ab/(a²+b²)}i = 3
3은 실수이므로 허수부분=0
3
허수부분=0에서 a 결정
2ab/(a²+b²) = 0
z는 허수이므로 b≠0 → a=0
2ab/(a²+b²) = 0
z는 허수이므로 b≠0 → a=0
4
a=0 대입하여 b 결정
b² + (−b²)/b² = 3
b² − 1 = 3 → b²=4
b² + (−b²)/b² = 3
b² − 1 = 3 → b²=4
5
(z−z̄)² 계산
z−z̄ = 2bi
(z−z̄)² = (2bi)² = 4b²i² = −4b²
= −4·4 = −16
z−z̄ = 2bi
(z−z̄)² = (2bi)² = 4b²i² = −4b²
= −4·4 = −16
정답: −16
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
z̄/z를 계산할 때는 분모 유리화! 그리고 ‘등식이 실수’ → 허수부분=0 조건 → 미지수 결정. 이 흐름을 따르세요!
⚠️ 이것만 조심하세요!
z̄/z를 a, b로 표현하는 과정이 복잡하므로 전개를 정확히! 또한 a=0을 구한 뒤 b² 계산에서 실수하지 않도록 주의하세요.
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
5~6분
정확한 계산이 우선
📝 수능 시험
3~4분
패턴 숙달 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: z̄/z 계산은 자주 나오는 패턴이니 연습해두세요! a=0이라는 결과(순허수)가 나오면 나머지 계산이 간단해져요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
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