B단계 유형 🔥 상
📘 0345번 — 복소수 z 또는 z²이 실수가 되기 위한 조건 — 복수 조건
🔥 두 조건을 동시에 만족! z²이 실수인 조건과 z−5i가 실수인 조건을 각각 풀고 공통해를 찾아야 해요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 흐름을 먼저 파악하고, 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
복소수 z=a²(1+i)+a(−3+2i)+(2−3i)에 대하여 z²과 z−5i가 모두 실수가 되도록 하는 실수 a의 값을 구하는 문제
복소수 z=a²(1+i)+a(−3+2i)+(2−3i)에 대하여 z²과 z−5i가 모두 실수가 되도록 하는 실수 a의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
두 조건을 각각 따로 풀어서 나온 a값들의 공통해를 찾으세요! z²이 실수인 조건(두 경우)과 z−5i가 실수인 조건을 모두 확인하세요.
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z를 정리
z = a²+a²i−3a+2ai+2−3i
= (a²−3a+2)+(a²+2a−3)i
z = a²+a²i−3a+2ai+2−3i
= (a²−3a+2)+(a²+2a−3)i
2
조건 (i): z²이 실수
z가 실수 또는 순허수
• 실수: a²+2a−3=0 → (a+3)(a−1)=0 → a=−3, 1
• 순허수: a²−3a+2=0 → (a−1)(a−2)=0 → a=1, 2
(a=1일 때 허수부분=0이므로 순허수 아님, 제외)
→ 가능한 a: −3, 1, 2
z가 실수 또는 순허수
• 실수: a²+2a−3=0 → (a+3)(a−1)=0 → a=−3, 1
• 순허수: a²−3a+2=0 → (a−1)(a−2)=0 → a=1, 2
(a=1일 때 허수부분=0이므로 순허수 아님, 제외)
→ 가능한 a: −3, 1, 2
3
조건 (ii): z−5i가 실수
z−5i = (a²−3a+2)+(a²+2a−3−5)i
= (a²−3a+2)+(a²+2a−8)i
실수이려면: a²+2a−8=0
(a+4)(a−2)=0 → a=−4, 2
z−5i = (a²−3a+2)+(a²+2a−3−5)i
= (a²−3a+2)+(a²+2a−8)i
실수이려면: a²+2a−8=0
(a+4)(a−2)=0 → a=−4, 2
4
공통해 찾기
조건(i): a=−3, 1, 2
조건(ii): a=−4, 2
공통해: a=2
조건(i): a=−3, 1, 2
조건(ii): a=−4, 2
공통해: a=2
정답: ⑤
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
복수 조건 문제 풀이 전략: 각 조건에서 가능한 값을 모두 구한 뒤 → 교집합(공통해)을 찾기! 절대 하나의 조건만 적용하지 마세요.
⚠️ 이것만 조심하세요!
조건(i)에서 z²이 실수인 경우가 ‘실수 또는 순허수’ 두 가지라는 점을 놓치면 a=2를 빠뜨릴 수 있어요! 또 조건(ii)에서 z−5i의 허수부분을 구할 때 −5를 빼는 것을 잊지 마세요.
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
5~6분
정확한 계산이 우선
📝 수능 시험
3~4분
패턴 숙달 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: z를 먼저 깔끔하게 정리해두면 나머지 조건 적용이 수월해요. 이차방정식을 빠르게 인수분해하는 실력이 시간을 줄여줍니다.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
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