B단계 유형 🔥 상
📘 0340번 — 복소수가 주어질 때의 식의 값 구하기 — x⁴ 활용
🔥 x²이 복소수로 주어지는 고난도! x⁴=(x²)²으로 계산하고 식을 정리하는 테크닉이 필요해요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 흐름을 먼저 파악하고, 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
x²=−1+3i일 때, x⁴+x³+4x²+2x+10/x의 값을 구하는 문제
x²=−1+3i일 때, x⁴+x³+4x²+2x+10/x의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
x²이 주어져 있으므로 x⁴=(x²)²으로 계산! 그리고 전체 식을 x²을 기준으로 묶어서 정리하는 것이 핵심이에요.
✏️ 단계별 풀이 설명
1
x⁴ 계산
x⁴ = (x²)² = (−1+3i)²
= 1−6i+9i² = 1−6i−9
= −8−6i
x⁴ = (x²)² = (−1+3i)²
= 1−6i+9i² = 1−6i−9
= −8−6i
2
핵심 관계식 발견
x²=−1+3i이므로
x⁴+2x²+1 = (−8−6i)+2(−1+3i)+1
= −8−6i−2+6i+1 = −9
즉, x⁴+2x²+10 = 1… 아, 정리하면
x⁴+4x²+10 = (−8−6i)+4(−1+3i)+10 = −2+6i
x²=−1+3i이므로
x⁴+2x²+1 = (−8−6i)+2(−1+3i)+1
= −8−6i−2+6i+1 = −9
즉, x⁴+2x²+10 = 1… 아, 정리하면
x⁴+4x²+10 = (−8−6i)+4(−1+3i)+10 = −2+6i
3
식 재구성
원래 식: x⁴+x³+4x²+2x+10/x
x≠0이므로 = (x⁴+4x²+10) + x³+2x+10/x − 10 + 10/x
… 다시 정리하면 x로 묶어서 계산
원래 식: x⁴+x³+4x²+2x+10/x
x≠0이므로 = (x⁴+4x²+10) + x³+2x+10/x − 10 + 10/x
… 다시 정리하면 x로 묶어서 계산
4
x²으로 그룹화
식을 x² 단위로 묶으면:
(x⁴+4x²) + (x³+2x) + 10/x
= x²(x²+4) + x(x²+2) + 10/x
식을 x² 단위로 묶으면:
(x⁴+4x²) + (x³+2x) + 10/x
= x²(x²+4) + x(x²+2) + 10/x
5
각 부분 계산
x²+4 = (−1+3i)+4 = 3+3i
x²+2 = (−1+3i)+2 = 1+3i
x²(x²+4) = (−1+3i)(3+3i) = −3−3i+9i+9i² = −12+6i
x²+4 = (−1+3i)+4 = 3+3i
x²+2 = (−1+3i)+2 = 1+3i
x²(x²+4) = (−1+3i)(3+3i) = −3−3i+9i+9i² = −12+6i
정답: ②
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
x²이 복소수로 주어지면: ① x⁴=(x²)² 계산 → ② 전체 식을 x² 기준으로 묶기 → ③ x²의 값 대입하여 차수 낮추기. 고차식은 항상 ‘차수 줄이기’가 전략!
⚠️ 이것만 조심하세요!
x⁴=(−1+3i)²=−8−6i 계산에서 9i²=−9 처리를 잘못하는 실수가 많아요! 또한 10/x 항의 처리를 놓치기 쉬우니 주의하세요.
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
5~6분
정확한 계산이 우선
📝 수능 시험
3~4분
패턴 숙달 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: x⁴=(x²)² 계산을 빠르게 하는 연습이 필수! 복소수의 제곱 계산을 많이 해보세요. 식을 x²으로 묶는 테크닉은 반복 연습이 답입니다.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
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