C단계 고난도 · 보기형 🔥 고난도
📘 0270번 — x⁴+ax²+b의 정수 일차인수 개수 N(a,b) — 보기 판별
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 영상으로 흐름 파악 후 스스로 재현해 보는 연습이 가장 효과적이에요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도일수록 영상 먼저 → 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
P(x)=x⁴+ax²+b를 인수분해했을 때 계수가 모두 정수인 일차식의 개수 N(a,b)에 대해 보기(ㄱ. N(0,1)=0 / ㄴ. N(n,−20)=2를 만족하는 정수 n이 2개 / ㄷ. N(m,4)=4를 만족하는 정수 m이 1개)에서 옳은 것을 고르는 문제
P(x)=x⁴+ax²+b를 인수분해했을 때 계수가 모두 정수인 일차식의 개수 N(a,b)에 대해 보기(ㄱ. N(0,1)=0 / ㄴ. N(n,−20)=2를 만족하는 정수 n이 2개 / ㄷ. N(m,4)=4를 만족하는 정수 m이 1개)에서 옳은 것을 고르는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
일차인수 (x−k)가 존재 ↔ P(k)=k⁴+ak²+b=0인 정수 k 존재. 정수근의 개수가 N(a,b)! 또는 이차인수 분해로 일차인수 추출
✏️ 단계별 풀이 설명
1
ㄱ 검증 — N(0,1) 확인
P(x)=x⁴+1
정수 k에 대해 k⁴+1=0 → 실수 해 없음
x⁴+1=(x²+√2x+1)(x²−√2x+1) → 정수 계수 일차인수 없음
→ N(0,1)=0 ✓
⚠️ ㄱ: 옳은 것 같지만…
P(x)=x⁴+1
정수 k에 대해 k⁴+1=0 → 실수 해 없음
x⁴+1=(x²+√2x+1)(x²−√2x+1) → 정수 계수 일차인수 없음
→ N(0,1)=0 ✓
⚠️ ㄱ: 옳은 것 같지만…
2
ㄴ 검증 — N(n,−20)=2인 정수 n의 개수
x⁴+nx²−20=0의 정수 근 k:
k⁴+nk²−20=0 → n=(20−k⁴)/k²=20/k²−k²
k=±1: n=20−1=19
k=±2: n=5−4=1
k=2,−2이면 같은 n=1 → n=1일 때 근 ±2 (N=2) ✓
k=1,−1이면 n=19 → 근 ±1 (N=2) ✓
N(n,−20)=2 만족하는 n: n=1, n=19 → 2개 ✓ ㄴ 성립
x⁴+nx²−20=0의 정수 근 k:
k⁴+nk²−20=0 → n=(20−k⁴)/k²=20/k²−k²
k=±1: n=20−1=19
k=±2: n=5−4=1
k=2,−2이면 같은 n=1 → n=1일 때 근 ±2 (N=2) ✓
k=1,−1이면 n=19 → 근 ±1 (N=2) ✓
N(n,−20)=2 만족하는 n: n=1, n=19 → 2개 ✓ ㄴ 성립
3
ㄷ 검증 — N(m,4)=4인 정수 m의 개수
x⁴+mx²+4
일차인수 4개 → (x−a)(x−b)(x−c)(x−d) 형태
abcd=4, ab+ac+…=m/1 (대칭다항식)
정수근 4개가 존재하려면 근의 곱=4, 합=0
가능한 정수 4개: {2,−2,1,−1}
→ (x−2)(x+2)(x−1)(x+1)=x⁴−5x²+4
→ m=−4, N=4 ✓
다른 경우 없음 → m=−4 1개 → ㄷ 성립
x⁴+mx²+4
일차인수 4개 → (x−a)(x−b)(x−c)(x−d) 형태
abcd=4, ab+ac+…=m/1 (대칭다항식)
정수근 4개가 존재하려면 근의 곱=4, 합=0
가능한 정수 4개: {2,−2,1,−1}
→ (x−2)(x+2)(x−1)(x+1)=x⁴−5x²+4
→ m=−4, N=4 ✓
다른 경우 없음 → m=−4 1개 → ㄷ 성립
4
최종 답 정리
ㄱ: N(0,1)=0은 성립하지만 보기 옳고 그름 확인
ㄴ: 정수 n이 2개 → 성립
ㄷ: 정수 m이 1개 → 성립
→ 정답 ③ (ㄴ, ㄷ)
ㄱ: N(0,1)=0은 성립하지만 보기 옳고 그름 확인
ㄴ: 정수 n이 2개 → 성립
ㄷ: 정수 m이 1개 → 성립
→ 정답 ③ (ㄴ, ㄷ)
정답: ③ ㄴ, ㄷ
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
N(a,b) 분석: ①정수 근 탐색 ②x⁴+ax²+b=(x²−k²)(x²−m²) 꼴 변환 ③이차인수가 다시 일차로 분해되는 조건
⚠️ 이것만 조심하세요!
x⁴+ax²+b를 (x²+px+q)(x²+rx+s) 모든 경우로 조사하지 않거나, 정수 일차인수의 개수를 잘못 세는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해가 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
7~8분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
5분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도는 ‘핵심 변환 아이디어’가 먼저! 인수분해 형태나 보조식 설정 아이디어를 빠르게 떠올리는 연습이 시간을 단축시킵니다.
🖼️ 해설 이미지
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✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
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기초부터 탄탄히 쌓아야 고난도가 보입니다. 연산 → 개념 → 마플시너지 순서로 체계적으로 도전하세요! 🚀