쎈 공통수학1 · 2단원 · 항등식과 나머지정리
📘 0197번 — P(3x+1)을 x²−1로 나눈 나머지
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상을 먼저 보고, 아래 풀이 설명과 함께 복습하면 효과가 2배예요! 😊
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
P(x)=(x²+2x−1)(ax+b)−8에 대해 P(3x+1)을 x²−1로 나눈 나머지가 15일 때, a−b의 값을 구하는 문제
P(x)=(x²+2x−1)(ax+b)−8에 대해 P(3x+1)을 x²−1로 나눈 나머지가 15일 때, a−b의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
x²−1=(x+1)(x−1) → 근 x=1, x=−1 대입. x=1이면 3x+1=4, x=−1이면 3x+1=−2 → P(4), P(−2) 계산
✏️ 단계별 풀이 설명
1
제식 인수분해 & 나머지 조건 파악
x²−1 = (x+1)(x−1)
나머지가 15(상수)이므로:
P(3x+1)|_{x=1} = 15 → P(4) = 15
P(3x+1)|_{x=−1} = 15 → P(−2) = 15
x²−1 = (x+1)(x−1)
나머지가 15(상수)이므로:
P(3x+1)|_{x=1} = 15 → P(4) = 15
P(3x+1)|_{x=−1} = 15 → P(−2) = 15
2
P(4) 계산
P(x) = (x²+2x−1)(ax+b)−8
x=4: x²+2x−1 = 16+8−1 = 23
P(4) = 23(4a+b)−8 = 15
23(4a+b) = 23 → 4a+b = 1 … ①
P(x) = (x²+2x−1)(ax+b)−8
x=4: x²+2x−1 = 16+8−1 = 23
P(4) = 23(4a+b)−8 = 15
23(4a+b) = 23 → 4a+b = 1 … ①
3
P(−2) 계산
x=−2: x²+2x−1 = 4−4−1 = −1
P(−2) = (−1)(−2a+b)−8 = 15
(−1)(−2a+b) = 23 → −2a+b = −23
→ 2a−b = 23 … ②
x=−2: x²+2x−1 = 4−4−1 = −1
P(−2) = (−1)(−2a+b)−8 = 15
(−1)(−2a+b) = 23 → −2a+b = −23
→ 2a−b = 23 … ②
4
연립방정식 풀기
①+②: 6a = 24 → a = 4
①에 대입: 16+b=1 → b = −15
①+②: 6a = 24 → a = 4
①에 대입: 16+b=1 → b = −15
5
최종 답
a−b = 4−(−15) = 19
a−b = 4−(−15) = 19
정답: 19
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
P(f(x))를 이차식으로 나눈 나머지가 상수 → P(f(1)), P(f(−1)) 모두 그 상수와 같음
⚠️ 이것만 조심하세요!
x²−1의 근 x=1, x=−1에서 3x+1의 값이 4, −2가 된다는 대입 과정을 놓치는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
시험장에서 이 문제를 만났을 때 아래 시간 안에 풀 수 있도록 연습하세요!
🏫 내신 시험
4~5분
계산 검토 시간 포함
📝 수능 시험
3분
패턴 암기로 시간 단축!
⚡ 시간 줄이는 법: 나눗셈 등식 A=BQ+R을 항상 먼저 세우고, 필요한 x값을 대입하는 흐름을 자동화하세요. 몫Q(a)가 필요한 경우 원래 등식에 x=a를 직접 대입하면 바로 해결됩니다!
🖼️ 해설 이미지
📚 관련 개념 포스트
✍️ 연산 워크시트 (기초 연습)
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