0096번 – 정사각형과 사분원에서
사각형 AQPS의 넓이 구하기
수선의 발 + 사분원 + 곱셈 공식 = 고난도 도형 문제!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
한 변의 길이가 20인 정사각형 ABCD의 꼭짓점 C를 중심으로 하고
BC̄를 반지름으로 하는 사분원이 있다.
호 BD 위의 한 점 P에서 AB, BC, AD에 내린 수선의 발을 각각 Q, R, S라 하자.
삼각형 PRC의 넓이가 80일 때, 사각형 AQPS의 넓이를 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 답: 560−240√5
① P는 사분원(반지름 20, 중심 C) 위의 점 → PC = 20
② P에서 BC에 수선 → PR = a, RC = b로 놓으면 직각삼각형 PRC!
③ △PRC 넓이 = ½ab = 80 → ab = 160
④ PC = 20이고 ∠PRC = 90° → a² + b² = 400 (피타고라스)
⑤ 사각형 AQPS는 직사각형! PS = 20−a, PQ = 20−b
💡 핵심: (20−a)(20−b) = 400 − 20(a+b) + ab에서 a+b를 구하면 끝!
📝 단계별 상세 풀이
PR = a, RC = b로 놓기
P에서 BC에 내린 수선의 발이 R이므로
PR = a, RC = b라 하면
△PRC는 ∠R = 90°인 직각삼각형!
두 가지 조건 세우기
조건 1: △PRC 넓이 = ½ab = 80
∴ ab = 160
조건 2: PC = BC = 20 (사분원의 반지름)
직각삼각형 PRC에서 피타고라스: a² + b² = 20² = 400
AQPS의 각 변 구하기
정사각형 ABCD에서 각 변의 길이가 20이므로:
PS = 20 − a (P에서 AD까지 거리)
PQ = RB = 20 − b (P에서 AB까지 거리)
AQPS는 직사각형이므로 (수선이니까 직각!)
□AQPS = (20−a)(20−b)
곱셈 공식으로 전개하기
(20−a)(20−b) = 400 − 20b − 20a + ab
= 400 − 20(a+b) + ab
ab = 160을 대입하면:
= 560 − 20(a+b)
💡 이제 a+b만 구하면 돼요!
a+b 구하기
(a+b)² = a² + b² + 2ab
= 400 + 2 × 160
= 400 + 320 = 720
a+b > 0이므로:
a+b = √720 = √(144 × 5) = 12√5
최종 답 계산
□AQPS = 560 − 20(a+b)
= 560 − 20 × 12√5
= 560 − 240√5
⚠️ 자주 틀리는 실수
PC = 20임을 놓치는 실수!
P는 사분원(반지름 20) 위의 점이므로 PC = BC = 20 ✅
PC를 모르겠다고 포기하면 ❌
→ 사분원의 반지름이 핵심! PC가 빗변이 돼요.
√720 정리 실수!
√720 = √(144 × 5) = 12√5 ✅
√720 = √(36 × 20) = 6√20 (더 정리 가능!) → 6·2√5 = 12√5
→ 720 = 4×180 = 4×36×5 = 144×5 로 소인수분해하면 깔끔!
PS와 PQ의 길이를 잘못 구하는 실수!
PS = 20 − a (정사각형 변 − PR) ✅
PQ = 20 − b (정사각형 변 − RC) ✅
→ 도형의 위치 관계를 그림으로 확인하세요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
정사각형 안에서 수선의 발을 이용하면:
a+b를 (a+b)² = a²+b² + 2ab 로 구하는 것이 핵심!
→ 알고 있는 것: a²+b² (피타고라스), ab (넓이) → a+b 역산!
1단계: ab (삼각형 넓이에서), a²+b² (피타고라스에서) 구하기
2단계: (a+b)² = a²+b²+2ab → a+b 구하기
3단계: (p−a)(p−b) = p²−p(a+b)+ab에 대입
720 = 144 × 5이므로 √720 = 12√5
비슷한 정리: √180 = 6√5, √245 = 7√5, √320 = 8√5
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 7~8분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 6~7분 | 3분 | 2분 30초 |
① 문자 a, b를 빠르게 설정!
PR=a, RC=b로 놓으면 모든 조건이 a, b의 식으로 깔끔하게 정리돼요.
② (a+b)² = a²+b²+2ab 패턴을 바로 적용!
a²+b²와 ab를 알면 a+b를 바로 구할 수 있어요.
③ 고난도 문제는 시간을 아끼려 하지 마세요!
차분하게 단계별로 풀면 정확도가 올라가고 결국 시간이 절약됩니다.
📸 해설 이미지
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