0091번 – 직육면체의 모서리 합과
대각선으로 겉넓이 구하기
곱셈 공식의 도형 활용! (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 직육면체 공식 정리 + 단계별 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
모든 모서리의 길이의 합이 48이고, 대각선의 길이가 3√6인
직육면체의 겉넓이를 구하시오.
※ 난이도: ★★☆ (중) · 대표 문제 · 답: 90
📐 직육면체의 기본 공식 (가로 a, 세로 b, 높이 c)
• 모든 모서리의 길이의 합 = 4(a+b+c) (같은 길이의 모서리가 4개씩!)
• 대각선의 길이 = √(a²+b²+c²)
• 겉넓이 = 2(ab+bc+ca)
① 모서리 합 = 48 → a+b+c = 12
② 대각선 = 3√6 → a²+b²+c² = 54
③ 구하는 것 = 겉넓이 = 2(ab+bc+ca)
④ 핵심 공식: (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
💡 a+b+c와 a²+b²+c²을 알면 → ab+bc+ca를 구할 수 있어요!
📝 단계별 상세 풀이
조건에서 a+b+c, a²+b²+c² 구하기
모서리 합 조건:
4(a+b+c) = 48
∴ a+b+c = 12
대각선 조건:
√(a²+b²+c²) = 3√6
양변을 제곱하면: a²+b²+c² = 9 × 6 = 54
곱셈 공식으로 ab+bc+ca 구하기
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
12² = 54 + 2(ab+bc+ca)
144 = 54 + 2(ab+bc+ca)
2(ab+bc+ca) = 144 − 54
2(ab+bc+ca) = 90
💡 겉넓이가 바로 2(ab+bc+ca)이니까 더 나눌 필요 없어요!
겉넓이 = 2(ab+bc+ca)
겉넓이 = 2(ab+bc+ca) = 90
⚠️ 자주 틀리는 실수
모서리 합에서 4를 빼먹는 실수!
직육면체는 같은 길이의 모서리가 4개씩 있어요.
모서리 합 = 4(a+b+c) = 48 → a+b+c = 12 ✅
모서리 합 = a+b+c = 48 ❌
대각선 제곱에서 실수!
(3√6)² = 9 × 6 = 54 ✅
(3√6)² = 3 × 6 = 18 ❌ (3도 제곱해야 해요!)
겉넓이에서 2를 빼먹거나 더 나누는 실수!
겉넓이 = 2(ab+bc+ca) = 90 ✅
2(ab+bc+ca) = 90에서 ab+bc+ca = 45라고 답 쓰기 ❌
→ 이 문제에서 겉넓이 = 2(ab+bc+ca) = 90이 바로 답! 나눌 필요 없어요.
🧠 외워두면 좋은 패턴
가로 a, 세로 b, 높이 c인 직육면체에서:
🔥 이 3개를 연결하는 공식: (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
a+b+c 알고 + a²+b²+c² 알면 → ab+bc+ca 구할 수 있음
a+b+c 알고 + ab+bc+ca 알면 → a²+b²+c² 구할 수 있음
→ 세 값 중 두 개만 알면 나머지 하나를 구할 수 있어요!
• 직사각형: 둘레 → a+b, 대각선 → √(a²+b²), 넓이 → ab
• 직육면체: 모서리 합 → a+b+c, 대각선 → √(a²+b²+c²), 겉넓이 → 2(ab+bc+ca)
• 정육면체: a=b=c이므로 모든 공식이 단순해짐
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
| 수능/모의고사 | 2~3분 | 1분 | 1분 |
① “직육면체 + 모서리/대각선/겉넓이” 보면 즉시 공식 떠올리기!
문제를 읽자마자 a+b+c, a²+b²+c², ab+bc+ca 세 값을 찾는 사고 루틴!
② 겉넓이 = 2(ab+bc+ca) 기억!
ab+bc+ca를 구한 후 2를 곱하는 것을 잊지 마세요. (이 문제에서는 딱 2(ab+bc+ca)=90이 답!)
📸 해설 이미지
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