0080번 – 다항식의 나눗셈
과정에서 상수 구하기
x³+x²−5를 x−1로 나누는 과정에서 a, b, c, d 구하기
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이 (나눗셈 과정 완전 복원)
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
오른쪽은 다항식 x³ + x² − 5 를 x − 1 로 나누는 과정을 나타낸 것이다.
이때 상수 a, b, c, d에 대하여 a + b + c + d 의 값을 구하시오.
x² + ax + 2
x − 1 ) x³ + x² − 5
x³ − x²
――――――
bx²
2x² − 2x
――――――
2x − c
2x − 2
――――――
d
※ 난이도: ★★☆ (중상) · 답: 6
나눗셈 과정의 빈칸 채우기 문제에서 핵심 단서를 찾아볼게요!
① 나눗셈 과정이 부분적으로 비어 있어요 → 각 단계의 논리를 따라가며 a, b, c, d를 채워야 해요.
② 몫이 x² + ax + 2 로 주어져 있고, 세 번째 항이 2 → 역추적도 가능!
③ 각 빈칸은 “빼기의 결과”이거나 “내려 받은 항”이에요.
💡 전략: 나눗셈을 직접 실행하면서 빈칸의 값을 하나씩 결정!
이 문제는 나눗셈 과정 자체를 “읽는 능력”을 테스트해요. 나눗셈의 각 단계가 어떻게 진행되는지 이해하고 있다면, 빈칸을 하나씩 채워나갈 수 있습니다. 0079번에서 배운 나눗셈 과정을 잘 활용하세요!
📝 단계별 상세 풀이
a의 값 구하기 (첫 번째 빼기 결과 분석)
첫 번째 단계: x³+x² 에서 x³−x²를 빼면
(x³+x²) − (x³−x²) = 2x²
따라서 bx² = 2x² 이므로… (잠깐, 이것은 b를 먼저 알려주네요!)
그런데 몫의 두 번째 항을 보면:
2x² ÷ x = 2x → 몫의 두 번째 항은 2x
그런데 몫이 x² + ax + 2 이므로
∴ a = 2
b의 값 구하기
첫 번째 빼기 결과에서 원래 x항이 없는 부분(−5)을 아직 내려받지 않았으므로:
(x³+x²−5) − (x³−x²) = 2x² + 0x − 5
하지만 나눗셈 과정에서는 bx²만 표시돼 있어요.
빼기 결과의 x² 계수가 2이므로
∴ b = 2
c의 값 구하기 (두 번째 빼기 결과 분석)
두 번째 단계: 2x²(−5 포함)에서 2x²−2x를 빼면
(2x²+0x−5) − (2x²−2x) = 2x − 5
나눗셈 과정에서 이것이 “2x − c”로 표시되어 있으므로
∴ c = 5
d의 값 구하기 (세 번째 빼기 = 나머지)
세 번째 단계: 2x−5에서 2x−2를 빼면
(2x−5) − (2x−2) = −3
∴ d = −3
최종 답 계산
a + b + c + d = 2 + 2 + 5 + (−3) = 6
완성된 나눗셈: (x−1)(x²+2x+2) + (−3) = x³+2x²+2x−x²−2x−2−3 = x³+x²−5 ✅
⚠️ 자주 틀리는 실수
빠진 항(0x)을 무시하는 실수!
x³ + x² − 5 에는 x항이 없어요! (x의 계수가 0)
나눗셈 과정에서 이 “빠진 0x”를 포함해야 빼기가 정확해져요.
→ 빠진 항이 있으면 0을 넣어서 자리를 만들어 주세요: x³+x²+0x−5
c에서 부호를 놓치는 실수!
빼기 결과가 2x−5인데, “2x−c”로 표시되므로
c = 5 ✅ c = −5 ❌
→ 식 자체에 이미 빼기(−)가 있으므로 c는 양수입니다!
d의 부호 실수!
(2x−5) − (2x−2) = 2x−5−2x+2 = −3 ✅
−5−(−2) = −5+2 = −3 (빼기 안의 −2가 +2로 바뀌어요!)
🧠 외워두면 좋은 패턴
위에서 아래로, 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 채워나가세요!
① 최고차항 나누기 → 몫의 한 항 결정
② 그 항 × 제식 → 곱 확인
③ 빼기 결과 → 다음 단계의 출발점
→ 이 3단계를 반복하면 빈칸이 자동으로 채워져요!
피제식에 빠진 차수가 있으면 계수 0으로 채워 넣기!
예: x³+x²−5 → x³+x²+0x−5
예: x⁴−1 → x⁴+0x³+0x²+0x−1
→ 자리를 맞추면 나눗셈이 훨씬 깔끔해져요!
방법 A: 과정을 한 줄씩 읽으며 빈칸 채우기 (이 문제처럼)
방법 B: 직접 나눗셈을 처음부터 수행하고, 결과와 대조하기
→ 시간이 된다면 둘 다 해보고 검산하는 것이 가장 안전해요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
① 직접 나눗셈이 더 빠를 수 있어요!
빈칸을 하나씩 추적하는 것보다, 처음부터 직접 나눗셈을 해서 각 값을 한번에 구하는 게 빠를 수 있어요.
② 일차식으로 나눌 때는 조립제법도 가능!
x−1로 나누는 경우 조립제법을 사용하면 훨씬 빠르게 몫과 나머지를 구할 수 있어요. (유형 10에서 배울 거예요!)
③ 검산은 마지막 한 줄로!
(x−1)(x²+2x+2)+(−3) = x³+x²−5 인지만 확인하면 끝!
📸 해설 이미지
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📚 추천 학습 순서
1단계: 연산 워크시트나눗셈 연산력을 키우세요!
공통수학1 연산 10. 나머지 정리 ⭐ 공통수학1 연산 11. 인수 정리 공통수학1 연산 12. 조립제법 공통수학1 연산 03. 다항식의 곱셈 (1) 공통수학1 연산 02. 다항식의 덧셈과 뺄셈개념을 확실히 잡고 가세요!
개념사전 011. 다항식÷다항식 계산 ⭐ (필수!) 개념사전 012. 다항식 나눗셈과 등식 개념사전 010. 다항식÷단항식 계산 개념사전 018. 조립제법 계산 개념사전 016. 나머지정리 이해 개념사전 001. 다항식의 기본 용어유사 문제로 실력을 굳히세요!
마플시너지 공수1 – 01-4. 다항식의 나눗셈 ⭐ 마플시너지 공수1 – 01-3. 곱셈 공식의 변형 마플시너지 공수1 – 01-2. 곱셈 공식을 이용한 전개