쎈 공통수학1 0064번 풀이
x+y=2, x³+y³=10일 때 x⁴+y⁴ 구하기 — 분수 계산까지 완벽 정리!
유형 05 · 곱셈 공식의 변형 난이도 ⭐⭐⭐상📋 이 포스팅에 포함된 내용
- 풀이 영상 (동영상 해설)
- 문제 분석 및 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 해설 이미지 (쎈 공통수학1 답지)
- 꿀팁: 외워두면 좋은 패턴
- 흔한 실수 & 주의사항
- 시간 관리 전략
- 관련개념정리포스트(개념정리와 이론정리영상) 및
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🎬 풀이 영상
x⁴+y⁴까지 올라가는 단계별 공식 활용법! 영상으로 먼저 전체 흐름을 잡으세요.
🔍 문제 분석 — 단서 찾기
x + y = 2, x³ + y³ = 10일 때, x⁴ + y⁴ = q/p이다.
서로소인 두 자연수 p, q에 대하여 p + q의 값을 구하시오.
🔑 핵심 단서 포인트
📝 단계별 상세 풀이
Step 1. xy 구하기
x³+y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y) 공식에 대입:
10 = 8 − 6xy
6xy = −2
∴ xy = −1/3
Step 2. x²+y² 구하기
x²+y² = (x+y)² − 2xy 공식에 대입:
Step 3. x⁴+y⁴ 구하기
x⁴+y⁴ = (x²+y²)² − 2(xy)² 공식에 대입:
= 196/9 − 2·(1/9)
= 196/9 − 2/9
= 194/9
Step 4. p+q 구하기
x⁴+y⁴ = 194/9 = q/p이고, 194와 9는 서로소이므로:
∴ p + q = 9 + 194 = 203
📸 해설 이미지 (쎈 공통수학1 답지)
아래 이미지에서 0064번 풀이를 직접 확인해 보세요.
🍯 꿀팁 & 외워두면 좋은 패턴
🔥 거듭제곱 합 — 단계별 상승 공식 체계
1단계: x+y (주어짐)
1.5단계: xy 구하기 (x²+y² 또는 x³+y³에서)
2단계: x²+y² = (x+y)² − 2xy
3단계: x³+y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y)
4단계: x⁴+y⁴ = (x²+y²)² − 2(xy)²
🔥 핵심: 매번 “이전 단계의 결과를 제곱하고, 교차항을 빼는” 패턴!
x⁴+y⁴ 공식의 유도
(x²+y²)² = x⁴ + 2x²y² + y⁴
정리하면: x⁴+y⁴ = (x²+y²)² − 2x²y² = (x²+y²)² − 2(xy)²
이건 x²+y² = (x+y)² − 2xy와 똑같은 구조!
x를 x²로, y를 y²로 바꾼 것뿐이에요.
분수 계산 Tip — 통분을 정확하게!
4 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3
(14/3)² = 196/9
(−1/3)² = 1/9
분수가 섞이면 실수하기 쉬우므로, 분모를 통일해서 계산하세요!
“서로소” 확인법
194 = 2 × 97, 9 = 3² → 공통인수가 없으므로 서로소!
답이 분수로 나오면 항상 약분이 더 되는지 확인하세요.
⚠️ 흔한 실수 & 주의사항
실수 1: x³+y³ 공식 혼동
x³+y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y)예요!
(x+y)³ − 3xy가 아니에요. 마지막에 (x+y)를 곱해야 해요!
실수 2: (xy)²와 xy²를 혼동
2(xy)² = 2·(−1/3)² = 2·(1/9) = 2/9
(xy)²은 xy 전체를 제곱하는 거예요. xy² = x·y²과는 다릅니다!
실수 3: (14/3)² 계산 실수
(14/3)² = 14²/3² = 196/9
분자와 분모를 각각 제곱하세요. 14² = 196을 잘못 계산하면 전체 답이 틀려요.
실수 4: p와 q를 바꿔 쓰는 경우
문제에서 q/p 형태로 주어졌으므로, p = 9(분모), q = 194(분자)예요. 바꿔 쓰면 답이 달라져요!
⏱️ 시간 관리 전략
목표 풀이 시간
내신 시험: 4~5분 (분수 계산 시간 포함)
수능/모의고사: 3~4분
시간을 줄이려면?
📚 관련개념정리포스트(개념정리와 이론정리영상)
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📝 연산 워크시트 (기초 다지기)
공통수학1 연산 07. 곱셈 공식의 변형 공통수학1 연산 08. 곱셈 공식의 활용 공통수학1 연산 05. 곱셈 공식 (1) 공통수학1 연산 06. 곱셈 공식 (2)🚀 마플시너지 공통수학1 (심화 도전)
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💪 “xy → x²+y² → x⁴+y⁴” 단계별 상승이 핵심!
분수 계산이 복잡하더라도 차근차근 하면 반드시 풀 수 있어요! 화이팅! 🎯