쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
463번 · 정오각형 대각선 교점 — \(\overline{BP}\) 구하기
— AA 닮음비 → 비례식 → 이차방정식
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (정오각형 닮음 완전 정복)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 정오각형에서 △PAB∽△ABE 닮음이 성립하는 이유
- 📐 닮음비를 이차방정식으로 변환하는 과정
- ⚠️ 정오각형 내각·대각선 기본 성질 암기
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
한 변의 길이가 4인 정오각형 \(ABCDE\)에서 대각선 \(AC\)와 \(BE\)가 만나는 점을 \(P\)라 할 때, \(\overline{BP}\)의 길이를 구하는 문제입니다.
🗝️ 정오각형 핵심 성질
▸ 내각: \(108°\)
▸ 대각선과 변이 이루는 각: \(36°\), \(72°\)
▸ \(\triangle PAB\)와 \(\triangle ABE\)는 두 각이 같아서 AA 닮음 성립!
→ \(\angle PAB = \angle ABE = 72°\), \(\angle APB = \angle AEB = 36°\)
▸ 내각: \(108°\)
▸ 대각선과 변이 이루는 각: \(36°\), \(72°\)
▸ \(\triangle PAB\)와 \(\triangle ABE\)는 두 각이 같아서 AA 닮음 성립!
→ \(\angle PAB = \angle ABE = 72°\), \(\angle APB = \angle AEB = 36°\)
💡 미지수 설정
\(BP=x\)로 놓으면 대각선 \(BE = BP + PE = x + AB = x+4\)
(정오각형에서 대각선 = \(BP\)의 선분 + 변의 길이)
\(BP=x\)로 놓으면 대각선 \(BE = BP + PE = x + AB = x+4\)
(정오각형에서 대각선 = \(BP\)의 선분 + 변의 길이)
✏️ 단계별 풀이
1
닮음비 설정
\(\triangle PAB \sim \triangle ABE\) (AA 닮음)이므로: \[\frac{AB}{BE} = \frac{BP}{AB}\] \[\frac{4}{x+4} = \frac{x}{4}\]
\(\triangle PAB \sim \triangle ABE\) (AA 닮음)이므로: \[\frac{AB}{BE} = \frac{BP}{AB}\] \[\frac{4}{x+4} = \frac{x}{4}\]
2
비례식을 이차방정식으로 변환
\[x(x+4) = 16\] \[x^2+4x-16=0\] \[x = \frac{-4\pm\sqrt{16+64}}{2} = \frac{-4\pm 4\sqrt{5}}{2} = -2\pm 2\sqrt{5}\]
\[x(x+4) = 16\] \[x^2+4x-16=0\] \[x = \frac{-4\pm\sqrt{16+64}}{2} = \frac{-4\pm 4\sqrt{5}}{2} = -2\pm 2\sqrt{5}\]
3
양수 근 선택
\(x=BP>0\)이므로 \(x=-2-2\sqrt{5}\) 제외 ❌
\[\therefore\; BP = -2+2\sqrt{5}\]
\(x=BP>0\)이므로 \(x=-2-2\sqrt{5}\) 제외 ❌
\[\therefore\; BP = -2+2\sqrt{5}\]
정답 : ② \(\overline{BP} = -2+2\sqrt{5}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
정오각형 닮음 황금비 패턴
정오각형에서 한 변 \(a\), 대각선 = \(x+a\)로 놓으면:
닮음비 → \(\dfrac{a}{x+a}=\dfrac{x}{a}\) → \(x^2+ax-a^2=0\)
이 비례 관계에서 나오는 비를 황금비라고 합니다. 수능에서도 자주 등장!
정오각형에서 한 변 \(a\), 대각선 = \(x+a\)로 놓으면:
닮음비 → \(\dfrac{a}{x+a}=\dfrac{x}{a}\) → \(x^2+ax-a^2=0\)
이 비례 관계에서 나오는 비를 황금비라고 합니다. 수능에서도 자주 등장!
⚠️ 이런 실수 조심!
- 닮음 삼각형을 잘못 설정 — 정오각형 내각 성질을 이용해 두 삼각형이 AA 닮음임을 확인하는 것이 우선!
- 대각선 \(BE\)를 \(x\)로만 설정 — \(BE = BP + PE = x + 4\)임을 주의.
- 음수 근 \(-2-2\sqrt{5}\) 선택 — 길이는 양수이므로 반드시 양수 근 선택.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
⚡ 정오각형 내각 성질과 닮음 삼각형 파악이 관건입니다. 각도 계산을 직접 해보며 AA 닮음 조건을 이해해 두세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
