쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
457번 · 가우스 기호 \([x]\) 포함 이차방정식 — \(x\)의 범위
— \([x]\)는 반드시 정수! 비정수 해 제외 후 범위 결정
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (가우스 기호 완전 정복)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 📖 가우스 기호 \([x]\)의 정의와 핵심 성질 정리
- 🔍 \([x]\)를 미지수처럼 다루는 풀이 전략
- ⚠️ 비정수 해를 제외해야 하는 이유
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
방정식 \(2[x]^2 + 5[x] – 3 = 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값의 범위를 구하는 문제입니다.
📖 가우스 기호 \([x]\) 핵심 정리
\([x]\) = \(x\)보다 크지 않은 최대 정수 (= 바닥 함수)
예: \([2.7]=2\), \([-1.3]=-2\), \([3]=3\)
핵심 성질: \([x] = n\) (정수 \(n\)) ↔ \(n \leq x < n+1\)
\([x]\) = \(x\)보다 크지 않은 최대 정수 (= 바닥 함수)
예: \([2.7]=2\), \([-1.3]=-2\), \([3]=3\)
핵심 성질: \([x] = n\) (정수 \(n\)) ↔ \(n \leq x < n+1\)
💡 전략: \([x]\)를 하나의 미지수처럼 취급!
\([x] = t\)로 놓으면 \(2t^2+5t-3=0\)인 이차방정식을 풀면 됩니다.
단, 결과로 나온 \(t\) 값이 반드시 정수이어야 유효합니다.
\([x] = t\)로 놓으면 \(2t^2+5t-3=0\)인 이차방정식을 풀면 됩니다.
단, 결과로 나온 \(t\) 값이 반드시 정수이어야 유효합니다.
✏️ 단계별 풀이
1
\([x]=t\)로 놓고 인수분해
\[2t^2+5t-3=0 \implies ([x]+3)(2[x]-1)=0\] \[[x]=-3 \quad\text{또는}\quad [x]=\frac{1}{2}\]
\[2t^2+5t-3=0 \implies ([x]+3)(2[x]-1)=0\] \[[x]=-3 \quad\text{또는}\quad [x]=\frac{1}{2}\]
2
정수 조건으로 걸러내기
\([x]\)는 항상 정수이므로 \([x]=\dfrac{1}{2}\)는 불가능 ❌
유효한 해: \([x]=-3\)
\([x]\)는 항상 정수이므로 \([x]=\dfrac{1}{2}\)는 불가능 ❌
유효한 해: \([x]=-3\)
3
\([x]=-3\)에서 \(x\)의 범위 결정
\([x]=n \Leftrightarrow n \leq x < n+1\)에서
\[-3 \leq x < -2\]
\([x]=n \Leftrightarrow n \leq x < n+1\)에서
\[-3 \leq x < -2\]
정답 : \(-3 \leq x < -2\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
가우스 기호 방정식 3단계 루틴
- \([x]\)를 마치 하나의 정수 변수처럼 다뤄 방정식 풀기
- 나온 해가 정수인지 확인 → 비정수는 제외
- \([x]=n\)에서 \(n \leq x < n+1\)로 \(x\)의 범위 결정
⚠️ 이런 실수 조심!
- \([x]=\frac{1}{2}\)를 유효한 해로 쓰는 실수 — \([x]\)는 항상 정수! 분수는 제외.
- \([x]=-3\)에서 \(x=-3\)으로만 쓰는 실수 — \(x\)는 범위이므로 \(-3 \leq x < -2\)로 써야 합니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
⚡ 가우스 기호를 문자처럼 다루는 것만 익히면 이 유형은 사실 일반 이차방정식과 동일합니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
