쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
455번 · 절댓값 방정식의 한 근이 \(a\) — 모든 \(a\)의 합
— \(x=a\) 대입 후 \(|a^2-a-1|=1\) 풀기
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (한 근 = 매개변수 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 \(x=a\) 대입으로 \(a\)에 관한 절댓값 방정식 도출
- 📐 \(|A|=1\)의 두 가지 경우 처리법
- ⚠️ 4개의 근을 빠짐없이 찾는 방법
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
방정식 \(|4x^2-(3a-1)x-2a-1|=1\)의 한 근이 \(a\)일 때,
모든 실수 \(a\) 값의 합을 구하는 문제입니다.
💡 핵심 전략 — \(x = a\) 대입!
“\(x=a\)가 방정식의 근이다” → \(x\) 자리에 \(a\)를 대입하면 등식이 성립합니다.
대입하면 \(a\)에 관한 절댓값 방정식으로 바뀌는데, 이를 풀면 가능한 \(a\) 값이 나옵니다.
“\(x=a\)가 방정식의 근이다” → \(x\) 자리에 \(a\)를 대입하면 등식이 성립합니다.
대입하면 \(a\)에 관한 절댓값 방정식으로 바뀌는데, 이를 풀면 가능한 \(a\) 값이 나옵니다.
✏️ 단계별 풀이
1
\(x=a\) 대입하여 간소화
\[|4a^2-(3a-1)a-2a-1| = 1\] \[|4a^2-3a^2+a-2a-1| = 1\] \[|a^2-a-1| = 1\]
\[|4a^2-(3a-1)a-2a-1| = 1\] \[|4a^2-3a^2+a-2a-1| = 1\] \[|a^2-a-1| = 1\]
2
\(|A|=1\)이면 \(A=1\) 또는 \(A=-1\)
경우 ① \(a^2-a-1=1\)
\[a^2-a-2=0 \implies (a+1)(a-2)=0\]
\[a=-1 \quad \text{또는} \quad a=2\]
경우 ② \(a^2-a-1=-1\)
\[a^2-a=0 \implies a(a-1)=0\]
\[a=0 \quad \text{또는} \quad a=1\]
모든 \(a\) 값의 합
\(-1 + 2 + 0 + 1 = 2\)
\(-1 + 2 + 0 + 1 = 2\)
정답 : 모든 실수 \(a\) 값의 합 \(= 2\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(|A| = k\) 처리 공식
\(k > 0\)일 때: \(|A|=k \Leftrightarrow A=k\) 또는 \(A=-k\)
→ 이 문제에서 \(k=1\)이므로 두 경우로 나눠 풀기.
“한 근이 주어진 식” 활용 패턴
방정식에 미지수가 두 종류(여기서 \(x\)와 \(a\))이면
조건(“한 근이 \(a\)”)을 이용해 하나를 없애는 것이 핵심 전략입니다.
\(k > 0\)일 때: \(|A|=k \Leftrightarrow A=k\) 또는 \(A=-k\)
→ 이 문제에서 \(k=1\)이므로 두 경우로 나눠 풀기.
“한 근이 주어진 식” 활용 패턴
방정식에 미지수가 두 종류(여기서 \(x\)와 \(a\))이면
조건(“한 근이 \(a\)”)을 이용해 하나를 없애는 것이 핵심 전략입니다.
⚠️ 이런 실수 조심!
- 대입 후 전개 실수 — \(-(3a-1) \cdot a = -3a^2+a\)임을 꼼꼼히 확인하세요.
- 경우 ①만 풀고 끝내는 실수 — \(|A|=1\)은 \(A=1\)과 \(A=-1\) 두 가지 모두 풀어야 합니다!
- 4개의 값을 모두 더하지 않는 실수 — \(-1,2,0,1\) 총 4개를 빠짐없이 더합니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
⚡ 대입 후 전개·정리가 빠를수록 유리합니다. \(4a^2-(3a-1)a\)를 암산으로 \(a^2\)로 정리하는 연습이 핵심입니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
