쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
451번 · 이차방정식 근 활용 — 대칭식 \(a^2 + \tfrac{1}{a^2}\) 계산
— \(a + \tfrac{1}{a}\)를 먼저 구하는 계단식 풀이
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (대칭식 풀이 완전 정복)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 양변을 \(a\)로 나눠 \(a+\frac{1}{a}\)를 구하는 핵심 아이디어
- 📐 \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = a^2+2+\frac{1}{a^2}\) 전개 공식
- ⚠️ \(a \neq 0\) 확인의 중요성
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2 – x + 1 = 0\)의 한 근을 \(a\)라 할 때, \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\)의 값을 구하는 문제입니다.
💡 단서는 여기에 있어요!
\(a\)가 \(x^2-x+1=0\)의 근이므로 \(a^2 – a + 1 = 0\)이 성립합니다.
이를 이용해 바로 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 구하려 하면 복잡한데,
양변을 \(a\)로 나누면 \(a – 1 + \frac{1}{a} = 0\), 즉 \(a + \frac{1}{a} = 1\)이라는 깔끔한 중간값이 나옵니다!
그 다음 \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\) 전개를 이용하면 끝.
\(a\)가 \(x^2-x+1=0\)의 근이므로 \(a^2 – a + 1 = 0\)이 성립합니다.
이를 이용해 바로 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 구하려 하면 복잡한데,
양변을 \(a\)로 나누면 \(a – 1 + \frac{1}{a} = 0\), 즉 \(a + \frac{1}{a} = 1\)이라는 깔끔한 중간값이 나옵니다!
그 다음 \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\) 전개를 이용하면 끝.
핵심 공식: \(\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2}\)
\[\therefore\; a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 – 2\]
\[\therefore\; a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 – 2\]
✏️ 단계별 풀이
1
\(a \neq 0\) 확인 후 양변을 \(a\)로 나누기
\(a=0\)이면 \(0-0+1=1 \neq 0\)이므로 \(a \neq 0\) ✓
\[a^2 – a + 1 = 0 \;\div\; a\] \[a – 1 + \frac{1}{a} = 0\] \[a + \frac{1}{a} = 1\]
\(a=0\)이면 \(0-0+1=1 \neq 0\)이므로 \(a \neq 0\) ✓
\[a^2 – a + 1 = 0 \;\div\; a\] \[a – 1 + \frac{1}{a} = 0\] \[a + \frac{1}{a} = 1\]
2
양변 제곱
\[\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = 1^2 = 1\] \[a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 1\]
\[\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = 1^2 = 1\] \[a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 1\]
3
목표값 계산
\[a^2 + \frac{1}{a^2} = 1 – 2 = -1\]
\[a^2 + \frac{1}{a^2} = 1 – 2 = -1\]
정답 : \(a^2 + \dfrac{1}{a^2} = -1\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
대칭식 계단 풀이 패턴 — 수능 단골!
\(a^2 + \frac{1}{a^2}\)를 구하려면 먼저 \(a + \frac{1}{a}\)를 구한다.
\(a^3 + \frac{1}{a^3}\)를 구하려면 먼저 \(a + \frac{1}{a}\), 그 다음 \(a^2+\frac{1}{a^2}\) 순서로.
자주 쓰는 공식 모음
\(\bullet\; \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = a^2+\frac{1}{a^2}+2\)
\(\bullet\; \left(a-\frac{1}{a}\right)^2 = a^2+\frac{1}{a^2}-2\)
\(\bullet\; \left(a+\frac{1}{a}\right)^3 = a^3+\frac{1}{a^3}+3\left(a+\frac{1}{a}\right)\)
\(a^2 + \frac{1}{a^2}\)를 구하려면 먼저 \(a + \frac{1}{a}\)를 구한다.
\(a^3 + \frac{1}{a^3}\)를 구하려면 먼저 \(a + \frac{1}{a}\), 그 다음 \(a^2+\frac{1}{a^2}\) 순서로.
자주 쓰는 공식 모음
\(\bullet\; \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = a^2+\frac{1}{a^2}+2\)
\(\bullet\; \left(a-\frac{1}{a}\right)^2 = a^2+\frac{1}{a^2}-2\)
\(\bullet\; \left(a+\frac{1}{a}\right)^3 = a^3+\frac{1}{a^3}+3\left(a+\frac{1}{a}\right)\)
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(a=0\)인지 먼저 확인하지 않고 나누는 실수 — 0으로 나누면 안 되므로 \(a \neq 0\)을 반드시 확인 후 나누세요.
- \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2}\)로 잘못 쓰는 실수 — 반드시 \(+2\)를 포함해야 합니다!
- 허근인 경우 \(a^2+\frac{1}{a^2}=-1\)이 복소수가 아닌가 의심 — 이차방정식 \(x^2-x+1=0\)의 근은 허근이므로 음수 결과도 유효합니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분 30초
수능·모의고사
2분
⚡ 이 유형은 아이디어만 알면 계산 자체는 매우 빠릅니다. “양변을 \(a\)로 나눠 \(a+\frac{1}{a}\) 구하기”가 자동으로 떠오를 때까지 비슷한 문제를 10번 이상 연습하세요.
🖼️ 교재 해설 이미지
