📋 문제 핵심 파악
주어진 것: 이차방정식 x² – 3x + 1 = 0의 두 근 α, β (α > β)
조건: 이차함수 f(x) = x² + mx + n이 f(α²) = 2β, f(β²) = 2α를 만족
구하는 것: m + 2n의 값
🔥 핵심 공식
근과 계수의 관계: α + β = 3, αβ = 1
근의 성질: α² = 3α – 1, β² = 3β – 1
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 근과 계수의 관계
x² – 3x + 1 = 0에서
α + β = 3
αβ = 1
또한 α, β는 방정식의 근이므로:
α² – 3α + 1 = 0 → α² = 3α – 1
β² – 3β + 1 = 0 → β² = 3β – 1
🔑 조건식 정리
f(α²) = 2β에서:
(α²)² + m(α²) + n = 2β
α⁴ + mα² + n = 2β … ①
f(β²) = 2α에서:
β⁴ + mβ² + n = 2α … ②
🔑 ① + ② 계산
(α⁴ + β⁴) + m(α² + β²) + 2n = 2(α + β)
필요한 값 계산:
• α² + β² = (α+β)² – 2αβ = 9 – 2 = 7
• α⁴ + β⁴ = (α²+β²)² – 2(αβ)² = 49 – 2 = 47
대입하면:
47 + 7m + 2n = 6
7m + 2n = -41 … ③
🔑 ① – ② 계산
(α⁴ – β⁴) + m(α² – β²) = 2(β – α)
(α² + β²)(α² – β²) + m(α² – β²) = -2(α – β)
(α² – β²)(α² + β² + m) = -2(α – β)
(α + β)(α – β)(7 + m) = -2(α – β)
α ≠ β이므로 양변을 (α – β)로 나누면:
3(7 + m) = -2
21 + 3m = -2
m = -23/3
🔑 n 값 및 m + 2n 계산
③에 m = -23/3 대입:
7(-23/3) + 2n = -41
-161/3 + 2n = -41
2n = -41 + 161/3 = (-123 + 161)/3 = 38/3
n = 19/3
따라서:
m + 2n = -23/3 + 2(19/3) = -23/3 + 38/3 = 15/3 = 5
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 5단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: α + β = 3, αβ = 1 확인
- STEP 2: α² + β² = 7, α⁴ + β⁴ = 47 계산
- STEP 3: 두 조건식 더하고 빼서 연립
- STEP 4: m = -23/3, n = 19/3
- 정답: m + 2n = 5
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: α⁴ + β⁴ 계산 시 (α² + β²)² 로만 계산 (2α²β² 빼야 함)
- 실수 2: ① – ② 계산 시 α – β와 β – α 부호 혼동
- 실수 3: 분수 계산 실수
🍯 TOUGH 문제 공략 꿀팁
- 대칭 조건: f(α²) = 2β, f(β²) = 2α처럼 대칭이면 더하고 빼기!
- 거듭제곱 합: αⁿ + βⁿ은 점화식 또는 직접 계산
- 핵심: 두 식을 더하면 대칭식, 빼면 α – β 인수 추출