📋 문제 핵심 파악
2021년 6월 고1 학력평가 28번
주어진 것: 이차방정식 x² – 2ax + 2a² – 2a – 4 = 0의 서로 다른 두 실근 α, β
조건: |α – β| < 12
구하는 것: 자연수 a의 개수
🔥 핵심 공식
|α – β| = √((α+β)² – 4αβ) = √(판별식)/|a|
서로 다른 두 실근 조건: D > 0
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 근과 계수의 관계
x² – 2ax + 2a² – 2a – 4 = 0에서
α + β = 2a
αβ = 2a² – 2a – 4
🔑 서로 다른 두 실근 조건 (D > 0)
D/4 = a² – (2a² – 2a – 4) > 0
-a² + 2a + 4 > 0
a² – 2a – 4 < 0
1 – √5 < a < 1 + √5
√5 ≈ 2.236이므로
-1.236 < a < 3.236
자연수 a: 1, 2, 3
🔑 |α – β| < 12 조건
(α – β)² = (α + β)² – 4αβ
= 4a² – 4(2a² – 2a – 4)
= 4a² – 8a² + 8a + 16
= -4a² + 8a + 16
= -4(a² – 2a – 4)
|α – β|² < 144
-4(a² – 2a – 4) < 144
a² – 2a – 4 > -36
a² – 2a + 32 > 0 → 항상 성립! (판별식 < 0)
🔑 결론
D > 0을 만족하는 자연수 a는 1, 2, 3
|α – β| < 12는 항상 만족
따라서 자연수 a의 개수는 3
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 5단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: 근과 계수의 관계 정리
- STEP 2: D > 0 조건에서 자연수 a 범위 결정
- STEP 3: |α – β| < 12 조건 확인
- STEP 4: 두 조건 모두 만족하는 자연수 개수
- 정답: 3
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: D > 0 조건을 확인하지 않고 |α – β| < 12만 확인
- 실수 2: (α – β)² 계산 시 부호 실수
- 실수 3: 자연수 범위에서 0을 포함시킴
🍯 학평 기출 공략 꿀팁
- 핵심: 순서쌍/자연수 개수 문제는 조건을 모두 체크!
- 필수 조건: 서로 다른 두 실근 → D > 0 먼저 확인
- |α – β| 공식: √((α+β)² – 4αβ) = √D / |a| (최고차계수가 a일 때)
- 검산: 경계값에서 등호 포함 여부 확인