1821
행렬 거듭제곱의 합과 주기 활용
2011학년도 고3 수능기출 나형 29번
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원
📋 문제 요약
이차정사각행렬 A의 (i, j) 성분 a_ij=i−j로 정의할 때, A+A²+A³+…+A²⁰¹⁰의 (2, 1) 성분을 구하는 문제입니다.
정답
④ 1
🔑 핵심 단서
a_ij=i−j에서 A=[[0,−1],[1,0]]입니다. A²=−E이므로 A⁴=E가 되어 주기 4로 순환합니다. A+A²+A³+A⁴=A−E−A+E=O(영행렬)이므로 연속 4개씩 묶으면 소거됩니다. 2010=4×502+2이므로 나머지 A²⁰⁰⁹+A²⁰¹⁰=A+A²만 남습니다.
🧭 풀이 전략
STEP A a_ij=i−j 대입 → A=[[0,−1],[1,0]]. A²=−E, A⁴=E 확인
STEP B A+A²+A³+A⁴=O. 2010÷4=502…2이므로 502묶음은 O
STEP C 남은 A²⁰⁰⁹+A²⁰¹⁰=A+A²=[[−1,−1],[1,−1]]. (2,1) 성분=1
수능 기출답게 주기성 파악과 나머지 처리를 동시에 요구합니다. 케일리-해밀턴 정리로도 접근 가능합니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- A+A²+A³+A⁴=O임을 확인한 뒤, 2010개를 4개씩 묶는 방법에 주의하세요. 처음부터 묶으면 나머지 2개는 A²⁰⁰⁹, A²⁰¹⁰입니다.
- A²⁰⁰⁹에서 2009÷4=502…1이므로 A²⁰⁰⁹=A이고, A²⁰¹⁰=A²입니다. 나머지 계산 실수에 주의하세요.
- 최종 답은 (2,1) 성분만 구해야 합니다. 행렬 전체가 아닌 특정 성분을 묻고 있으므로 문제를 정확히 확인하세요.