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행렬의 거듭제곱 주기와 고차 거듭제곱
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
행렬 A에 대하여 A¹⁰¹(−3, 2)ᵀ + A¹⁰²(−3, 2)ᵀ = (α, β)ᵀ가 성립할 때, α+β의 값을 구하는 문제입니다.
정답
4
🔑 핵심 단서
A², A³, A⁴을 차례로 계산하면 A²=−E, A³=−A, A⁴=E로 주기 4의 순환이 나타납니다. 101=4×25+1이므로 A¹⁰¹=A, 102=4×25+2이므로 A¹⁰²=A²=−E입니다. 따라서 (A¹⁰¹+A¹⁰²)=(A−E)를 계산하면 됩니다.
🧭 풀이 전략
STEP A A²=−E → A³=−A → A⁴=E 확인. 주기 4로 순환
STEP B A¹⁰¹=A, A¹⁰²=−E이므로 (A+A²)(−3, 2)ᵀ=(A−E)(−3, 2)ᵀ 계산 → (7, −3)ᵀ → α+β=4
나눗셈의 나머지로 고차 거듭제곱의 지수를 줄이는 것이 핵심입니다. A⁴=E를 발견하면 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 됩니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- A²=−E에서 (−E)²=E이므로 A⁴=E입니다. A²=−E를 A²=E로 잘못 읽으면 전체 풀이가 틀립니다.
- 101÷4=25…1, 102÷4=25…2에서 나머지가 0이면 A⁴=E를 사용해야 합니다. 나머지 계산에 주의하세요.
- 최종 계산에서 (A−E)(−3, 2)ᵀ에서 A−E 행렬을 먼저 구한 뒤 열벡터와 곱셈하는 순서를 지켜야 합니다.