1838번 · (A+B)¹⁰⁰의 모든 성분의 합
2008년 03월 고3 학력평가 나형 19번 · 정답 52 · MAPL 시너지 행렬과 그 연산
📌 문제 요약
이차정사각행렬 A, B가 A²+B²와 AB+BA의 값을 만족시킬 때, (A+B)¹⁰⁰의 모든 성분의 합을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 단서
(A+B)² = (A²+B²)+(AB+BA)라는 관계가 핵심입니다. (A+B)²을 전개하면 A²+AB+BA+B²이므로, 주어진 두 조건을 그대로 더하면 (A+B)²을 바로 구할 수 있습니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
(A+B)²을 구한 뒤, (A+B)², (A+B)⁴, (A+B)⁸, … 을 차례로 계산하여 규칙을 찾는 것이 전략입니다. (A+B)² = (1,0;n,1) 꼴임을 확인하면, 자연수 n에 대해 {(A+B)²}ⁿ = (1,0;n,1)로 추정할 수 있습니다. 이 규칙을 이용하면 (A+B)¹⁰⁰ = {(A+B)²}⁵⁰ = (1,0;50,1)이 되어 모든 성분의 합이 1+0+50+1 = 52입니다.
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⚠️ 자주 하는 실수
- (A+B)²을 A²+2AB+B²으로 전개 — 행렬에서는 AB ≠ BA이므로 (A+B)² = A²+AB+BA+B²입니다. 실수처럼 2AB으로 합치면 안 됩니다.
- 규칙 추정 실패 — (A+B)², (A+B)⁴까지만 계산하고 규칙을 확인하지 않으면, 100승을 직접 계산할 수 없습니다. 반드시 (1,0;n,1) 꼴의 패턴을 파악해야 합니다.
- 지수 관계 혼동 — (A+B)¹⁰⁰ = {(A+B)²}⁵⁰에서 지수가 50임을 정확히 인식해야 합니다. 100으로 대입하면 답이 두 배가 됩니다.
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