마플시너지 공통수학2 1번 답지, 해설 및 ‘두 점 사이의 거리’ 개념 총정리

🚀 도입: 문제 제시 및 길잡이

안녕하세요! **마플시너지 공통수학2** 1번 문제 풀이를 시작하겠습니다. 이 문제는 좌표평면 위 ‘두 점 사이의 거리’ 공식을 정확히 알고 있는지 확인하는, 아주 중요한 기본 유형 문제입니다. 공식만 알면 전혀 어렵지 않으니 차근차근 따라오세요!

문제: 두 점 A(3, 3), B(a, -2) 사이의 거리가 $5\sqrt{2}$일 때, 이를 만족하는 모든 실수 a의 값의 합을 구하시오.

📘 핵심 개념 정리: 두 점 사이의 거리 공식

본격적으로 문제를 풀기 전에, 가장 중요한 핵심 개념인 ‘두 점 사이의 거리’ 공식을 먼저 복습해 보겠습니다. 이 공식은 피타고라스의 정리에서 유래되었답니다!

두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$ 사이의 거리 $d$를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

📝 단계별 상세 풀이

1단계: 공식에 주어진 값 대입하기

먼저, 주어진 두 점 A(3, 3)과 B(a, -2)를 공식에 그대로 대입해 보겠습니다. 거리는 $5\sqrt{2}$라고 문제에 나와있죠?

$5\sqrt{2} = \sqrt{(a – 3)^2 + (-2 – 3)^2}$

2단계: 식 정리하기 (루트 없애기)

루트(√)가 있으면 계산이 복잡하니, 등식의 양변을 제곱해서 루트를 없애주겠습니다. 좌변과 우변을 각각 제곱하면 다음과 같습니다.

$(5\sqrt{2})^2 = (\sqrt{(a – 3)^2 + (-2 – 3)^2})^2$

$25 \times 2 = (a – 3)^2 + (-5)^2$

$50 = (a – 3)^2 + 25$

이제 25를 좌변으로 이항하여 정리합니다.

$25 = (a – 3)^2$

3단계: a 값 구하기

거의 다 왔습니다! 제곱해서 25가 되는 수는 $+5$와 $-5$, 두 개가 있습니다. 이 두 가지 경우를 모두 계산해야 합니다.

• 경우 1: $a – 3 = 5 \implies a = 8$
• 경우 2: $a – 3 = -5 \implies a = -2$

따라서, 이를 만족하는 a의 값은 8과 -2입니다.

4단계: 최종 답 구하기 (문제의 요구사항 확인!)

여기서 실수하면 안 됩니다! 문제는 a의 값을 모두 구하라는 것이 아니라, ‘모든 실수 a의 값의 합’을 구하라고 했습니다. 따라서 우리가 구한 두 값을 더해주어야 합니다.

$8 + (-2) = 6$

✅ 정답 및 요약

핵심 요약: 이 문제의 풀이 과정은 ①두 점 사이의 거리 공식을 쓰고, ②양변을 제곱하여 정리한 뒤, ③이차방정식의 두 근을 구해, ④문제의 요구에 맞게 두 근의 합을 구하는 것입니다.

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