마플시너지공수1답지 0915번 서술형 이차함수 최대·최소 핵심 포인트

0915번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 서술형 기출유형으로, 이차함수 y = −2x² − 2ax − 3의 최댓값 조건에서 미지수 a를 결정한 뒤, 닫힌 구간 −3 ≤ x ≤ 0에서 최솟값 m을 구해 am의 값을 역추적하는 3단계 서술형 문제입니다. 완전제곱식 변환과 닫힌 구간에서의 최솟값 판별 사고력이 핵심입니다.

발상 포인트: ① 완전제곱식으로 꼭짓점 좌표 도출 — y = −2x² − 2ax − 3 = −2(x + a/2)² + a²/2 − 3으로 변환하면, 꼭짓점의 x좌표는 x = −a/2이고 최댓값은 a²/2 − 3입니다. 최댓값이 −1이므로 a²/2 − 3 = −1에서 a² = 4, a > 0이므로 a = 2가 됩니다.

② 닫힌 구간에서 대칭축과의 거리로 최솟값 판별 — a = 2를 대입하면 y = −2(x + 1)² − 1이 되어 대칭축이 x = −1입니다. 구간 [−3, 0]에서 대칭축 x = −1로부터 더 먼 끝점 x = −3이 최솟값을 가지므로, m = −2(−3 + 1)² − 1 = −9입니다. ③ 최종 답 계산 — am = 2 × (−9) = −18이 됩니다.