마플시너지 공통수학1 1432번 TOUGH – 9단원 이차부등식, (가) √{(k+1)x²−(k+1)x+5}가 실수가 되게 하는 정수 k의 개수 p, (나) 1/√{(k+2)x²−2(k+2)x+4}가 실수가 되게 하는 정수 k의 개수 q일 때 p+q
| 📘 교재 | 마플시너지 공통수학1 |
| 📐 단원 | 9단원 · 이차부등식 |
| 🔢 문제번호 | 1432번 |
| ⭐ 유형 | TOUGH |
마플시너지공수1답지 1432번 TOUGH 핵심 포인트
1432번은 9단원 이차부등식 최다빈출 왕중요 문제로, (가) 모든 실수 x에 대해 √{(k+1)x²−(k+1)x+5}가 실수가 되게 하는 정수 k의 개수가 p, (나) 모든 실수 x에 대해 1/√{(k+2)x²−2(k+2)x+4}가 실수가 되게 하는 정수 k의 개수가 q일 때 p+q의 값을 구하는 문제입니다.
① (가) √{(k+1)x²−(k+1)x+5}가 실수 — 근호 안 ≥0이 모든 실수 x에서 성립해야 합니다.
② k+1=0(k=−1)일 때 5≥0 항상 성립. k+1≠0일 때 k+1>0이고 D≤0.
③ k+1>0에서 k>−1 ……㉠. D=(k+1)²−20(k+1)≤0, (k+1)(k−19)≤0에서 −1≤k≤19 ……㉡.
④ ㉠, ㉡의 공통범위: −1<k≤19. k=−1 포함하면 −1≤k≤19. 정수 k는 21개 → p=21.
⑤ (나) 1/√{(k+2)x²−2(k+2)x+4}가 실수 — 분모 근호 안 >0이 모든 실수 x에서 성립해야 합니다.
⑥ k+2=0(k=−2)일 때 4>0 항상 성립. k+2≠0일 때 k+2>0이고 D<0.
⑦ k+2>0에서 k>−2 ……㉢. D/4=(k+2)²−4(k+2)<0, (k+2)(k−2)<0에서 −2<k<2 ……㉣.
⑧ ㉢, ㉣의 공통범위: −2<k<2. k=−2 포함하면 −2≤k<2. 정수 k는 −2, −1, 0, 1 → q=4.
⑨ p+q = 21+4 = 25.
정답: 25.
📝 다른 풀이
① (가) f(x)=(k+1)x²−(k+1)x+5≥0이 항상 성립하는 조건: k=−1이면 f(x)=5≥0 성립. k≠−1이면 이차함수이므로 k+1>0, D≤0.
② D=(k+1)²−4(k+1)·5=(k+1){(k+1)−20}=(k+1)(k−19)≤0 → −1≤k≤19. k+1>0(k>−1)과 교집합: −1 ③ k=−1 합치면 −1≤k≤19, 정수 21개. ④ (나) g(x)=(k+2)x²−2(k+2)x+4>0이 항상 성립하는 조건: k=−2이면 g(x)=4>0 성립. k≠−2이면 k+2>0, D<0. ⑤ D/4=(k+2)²−4(k+2)=(k+2)(k+2−4)=(k+2)(k−2)<0 → −2 ⑥ k=−2 합치면 −2≤k<2, 정수: −2,−1,0,1 → 4개. p+q=21+4=25.
1432번 TOUGH 엄선 풀이영상
▲ 9단원 이차부등식 최다빈출 · (가) −1≤k≤19 → p=21, (나) −2<k<2 → q=4 → p+q=25 · 1432번 전 과정 해설
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