마플시너지공수1답지 1429번 TOUGH 핵심 포인트

1429번은 9단원 이차부등식 최다빈출 왕중요 문제로, x²−ax+20≤0의 해가 α≤x≤β이고 x²−13x+b≥0의 해가 x≤α−2 또는 x≥β+6일 때 a+b의 값을 구하는 문제입니다.

① x²−ax+20≤0에서 α, β 관계 — (x−α)(x−β)≤0이므로 α+β=a ……㉠, αβ=20 ……㉡.

② x²−13x+b≥0의 해가 x≤α−2 또는 x≥β+6 — x²의 계수가 1인 이차부등식 {x−(α−2)}{x−(β+6)}≥0, 즉 x²−(α+β+4)x+(α−2)(β+6)≥0.

③ 계수 비교 — α+β+4=13에서 α+β=9 ……㉢. (α−2)(β+6)=b ……㉣.

④ ㉠에서 a=α+β=9. ㉡, ㉢에서 α+β=9, αβ=20이므로 t²−9t+20=0, (t−4)(t−5)=0. α<β이므로 α=4, β=5.

⑤ ㉣에서 b=(4−2)(5+6)=2×11=22. 따라서 a+b=9+22 = 31.

정답: 31.