마플시너지공수1답지 1426번 TOUGH 핵심 포인트

1426번은 9단원 이차부등식 서술형 기출유형 문제로, x²+ax+2a−3=0의 서로 다른 두 근이 모두 x²+x−2=0의 두 근 사이에 있도록 하는 실수 a의 범위가 α<a<β일 때 αβ의 값을 구하는 문제입니다.

① x²+x−2=0의 두 근 — (x−1)(x+2)=0이므로 x=−2 또는 x=1.

② f(x)=x²+ax+2a−3으로 놓기 — 서로 다른 두 근이 모두 −2와 1 사이에 있으려면 (ⅰ) D>0, (ⅱ) f(−2)>0, (ⅲ) f(1)>0, (ⅳ) −2<축<1.

③ (ⅰ) D=a²−4(2a−3)>0 — a²−8a+12>0, (a−2)(a−6)>0 → a<2 또는 a>6 ……㉠.

④ (ⅱ) f(−2)=4−2a+2a−3=1>0 — 항상 성립. (ⅲ) f(1)=1+a+2a−3=3a−2>0 → a>2/3 ……㉡.

⑤ (ⅳ) −2<−a/2<1 → −2<a<4 ……㉢. ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분: 2/3<a<2.

⑥ α=2/3, β=2이므로 αβ = 4/3.

정답: 4/3.