마플시너지공수1답지 1422번 TOUGH 핵심 포인트

1422번은 9단원 이차부등식 서술형 최다빈출 왕중요 문제로, (가) y=−2x²+6x−k의 그래프가 직선 y=2kx+k보다 항상 아래쪽에 있고, (나) x²+2kx+k+2=0의 두 근이 모두 음수일 때 정수 k의 값의 합을 구하는 문제입니다.

① 조건 (가) — −2x²+6x−k<2kx+k에서 x²+(k−3)x+k>0이 항상 성립. D₁=(k−3)²−4k<0, k²−10k+9<0, (k−1)(k−9)<0이므로 1<k<9 ……㉠.

② 조건 (나) — x²+2kx+k+2=0의 두 근 α, β가 모두 음수. (ⅰ) D₂≥0: k²−k−2≥0, (k+1)(k−2)≥0 → k≤−1 또는 k≥2 ……㉡.

③ (ⅱ) α+β=−2k<0 → k>0 ……㉢. (ⅲ) αβ=k+2>0 → k>−2 ……㉣.

④ ㉡, ㉢, ㉣에서 k≥2. ㉠과의 공통부분: 2≤k<9.

⑤ 정수 k: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8이므로 합은 2+3+4+5+6+7+8 = 35.

정답: 5.