마플시너지공수1답지 1371번 TOUGH 핵심 포인트

1371번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2020년 9월 고1 학평 28번)로, 이차함수 f(x)=−x²+2kx+k²+4의 그래프에서 사각형 OCBA의 둘레 g(k)에 대해 부등식 14≤g(k)≤78을 만족시키는 모든 자연수 k의 값의 합을 구하는 문제입니다.

① 점 A, B, C의 좌표 구하기 — f(0)=k²+4이므로 A(0, k²+4). y=k²+4와 f(x)의 교점을 구하면 −x²+2kx+k²+4=k²+4에서 x(x−2k)=0, 즉 x=0 또는 x=2k. 따라서 B(2k, k²+4), C(2k, 0).

② 사각형 OCBA의 둘레 g(k) 구하기 — OCBA는 직사각형(OA=BC, AB=CO)이므로 g(k)=2AB+2OA=2×2k+2(k²+4)=2k²+4k+8.

③ 부등식 14≤g(k)≤78 풀기 — 14≤2k²+4k+8≤78에서 7≤k²+2k+4≤39.

④ k²+2k+4≥7 — k²+2k−3≥0, (k+3)(k−1)≥0이므로 k≤−3 또는 k≥1 ……㉠.

⑤ k²+2k+4≤39 — k²+2k−35≤0, (k+7)(k−5)≤0이므로 −7≤k≤5 ……㉡.

㉠, ㉡의 공통부분에서 k>0(자연수)이므로 1≤k≤5. 합: 1+2+3+4+5 = 15.

정답: 15.