마플시너지공수1답지 1294번 TOUGH 두 판별식 교집합 핵심 포인트

1294번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 조건 (가) 모든 실수 x에 대하여 x²−2kx+4 > 0 성립, 조건 (나) x²−2kx+4k < 0을 만족하는 실수 x가 존재하지 않을 때, 두 조건을 모두 만족하는 정수 k의 개수를 구하는 문제입니다.

STEP A. 조건 (가)의 부등식을 이용하여 k의 범위 구하기

이차부등식 x²−2kx+4 > 0이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차함수 y = x²−2kx+4의 그래프가 x축과 만나지 않아야 합니다. 방정식 x²−2kx+4 = 0의 판별식을 D₁이라 하면 D₁ < 0이어야 합니다. D₁/4 = k²−4 < 0, (k−2)(k+2) < 0이므로 −2 < k < 2 ···㉮

STEP B. 조건 (나)의 부등식을 이용하여 k의 범위 구하기

부등식 x²−2kx+4k < 0을 만족하는 실수 x가 존재하지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 x²−2kx+4k ≥ 0이어야 합니다. 즉 이차함수 y = x²−2kx+4k의 그래프가 x축과 한 점에서 만나거나 만나지 않아야 합니다. 방정식 x²−2kx+4k = 0의 판별식을 D₂라 하면 D₂ ≤ 0이어야 합니다. D₂/4 = k²−4k ≤ 0, k(k−4) ≤ 0이므로 0 ≤ k ≤ 4 ···㉯

STEP C. 정수 k의 개수 구하기

㉮, ㉯에서 공통범위는 0 ≤ k < 2. 따라서 정수 k는 0, 1이므로 개수는 2.

정답: 2