🔥 TOUGH
마플시너지 공통수학1 1275번 TOUGH – 9단원 이차부등식, 모든 실수 x에 대해 x²−2ax+1 > 0이 항상 성립할 때 3|a−1|+2|a+1| < 5의 해 α < a < β에서 α+β
| 📘 교재 | 마플시너지 공통수학1 |
| 📐 단원 | 9단원 · 이차부등식 |
| 🔢 문제번호 | 1275번 |
| 📋 유형 | 항상 성립 · 판별식 · 절댓값 부등식 복합 |
| ⭐ 난이도 | TOUGH |
마플시너지공수1답지 1275번 TOUGH 항상 성립 + 절댓값 부등식 핵심 포인트
1275번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 모든 실수 x에 대하여 x²−2ax+1 > 0이 항상 성립할 때 부등식 3|a−1|+2|a+1| < 5의 해를 구하면 α < a < β이고, α+β를 구하는 문제입니다.
STEP A. 이차함수와 이차부등식의 관계를 이용하기
모든 실수 x에 대하여 x²−2ax+1 > 0이 항상 성립하므로 이차함수 y = x²−2ax+1의 그래프는 x축과 만나지 않아야 합니다.
STEP B. 이차방정식의 판별식을 이용하여 a의 범위 구하기
이차방정식 x²−2ax+1 = 0의 판별식을 D라 하면 D < 0이어야 합니다. D/4 = (−a)²−1 = a²−1 < 0, (a+1)(a−1) < 0이므로 −1 < a < 1 ···㉮
STEP C. 부등식 3|a−1|+2|a+1| < 5의 해 구하기
㉮에 의하여 a−1 < 0, a+1 > 0이므로 부등식 3|a−1|+2|a+1| < 5를 풀면 −3(a−1)+2(a+1) < 5, −3a+3+2a+2 < 5, −a+5 < 5, −a < 0, 즉 a > 0 ···㉯
㉮, ㉯의 공통 범위는 0 < a < 1. 따라서 α = 0, β = 1이므로 α+β = 0+1 = 1.
정답: ① 1
1275번 TOUGH 엄선 풀이영상
▲ 9단원 이차부등식 TOUGH · D<0 → −1<a<1 → 3|a−1|+2|a+1|<5 → 0<a<1 → α+β=1 1275번 전 과정 해설
1275번 답지 확인
