마플시너지공수1답지 1209번 행복한 1등급 절댓값 포함관계 핵심 포인트

1209번은 8단원 부등식 행복한 1등급 + 최다빈출 왕중요 문제로, |x−a| < 2를 만족시키는 모든 실수 x가 부등식 |x−6| ≥ a를 만족시킬 때 양수 a의 최댓값을 구하는 문제입니다.

STEP A. 각각의 절댓값 부등식의 해 구하기

|x−a| < 2에서 −2 < x−a < 2, a−2 < x < a+2 ···㉮. |x−6| ≥ a에서 a > 0이므로 x−6 ≤ −a 또는 x−6 ≥ a, 즉 x ≤ −a+6 또는 x ≥ a+6 ···㉯.

STEP B. 두 부등식의 해의 포함관계를 이용하여 양수 a의 최댓값 구하기

|x−a| < 2를 만족시키는 모든 실수 x가 |x−6| ≥ a를 만족시키려면 ㉮가 ㉯의 해에 포함되어야 합니다. ㉯는 x ≤ −a+6 또는 x ≥ a+6이고, ㉮는 a−2 < x < a+2인 연속 구간입니다.

㉮가 ㉯에 포함되려면 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.

(ⅰ) a−2 < x < a+2가 x ≤ −a+6에 포함되는 경우: a+2 ≤ −a+6이므로 2a ≤ 4, a ≤ 2. 이때 a > 0이므로 0 < a ≤ 2.

(ⅱ) a−2 < x < a+2가 x ≥ a+6에 포함되는 경우: a−2 ≥ a+6이므로 −2 ≥ 6. 모순이므로 이 경우는 존재하지 않습니다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 0 < a ≤ 2이므로 양수 a의 최댓값은 2.