마플시너지공수1답지 1127번 일등급 인수분해·정수근 조건 핵심 포인트

1127번은 7단원 고차방정식 일등급문제(2016년 3월 고2 학평 가형 30번)로, ax³+2bx²+4bx+8a=0을 인수분해한 뒤 서로 다른 세 정수근 조건과 |a|≤50, |b|≤50을 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하는 문제입니다.

① 삼차식 인수분해 — ax³+2bx²+4bx+8a=a(x³+8)+2bx(x+2)=a(x+2)(x²−2x+4)+2bx(x+2)=(x+2)(ax²−2ax+4a+2bx)이므로 (x+2){ax²−2(a−b)x+4a}=0 ··· ⓐ

② 서로 다른 세 정수근 파악 — x=−2 또는 ax²−2(a−b)x+4a=0. 삼차방정식이 서로 다른 세 정수근을 가지려면 이차식이 −2가 아닌 서로 다른 두 정수근 α, β(α<β)를 가져야 합니다. 근과 계수의 관계에서 α+β=2(a−b)/a, αβ=4a/a=4.

③ 곱이 4이고 −2가 아닌 서로 다른 두 정수

(ⅰ) α=1, β=4일 때: α+β=5에서 2(a−b)/a=5, b=−(3/2)a (a≠0). a, b가 정수이고 |a|≤50, |b|≤50 → a는 0 아닌 짝수, |−(3/2)a|≤50. a=±2, ±4, …, ±32 → 32개.

(ⅱ) α=−4, β=−1일 때: α+β=−5에서 2(a−b)/a=−5, b=(7/2)a (a≠0). a는 0 아닌 짝수, |b|≤50 → a=±2, ±4, …, ±14 → 14개.

(ⅰ), (ⅱ)에서 순서쌍 (a, b)의 개수는 32+14=46.

정답: 46.