마플시너지공수1답지 1126번 일등급 조립제법·경우 나누기 핵심 포인트

1126번은 7단원 고차방정식 일등급문제(2024년 6월 고1 학평 20번)로, 조립제법을 이용하여 삼차방정식의 근을 찾고, α<β<γ 조건을 만족시키는 a의 값을 경우별로 구하는 문제입니다.

① x=−1을 대입하여 확인 — x³−(a²+a−1)x²−a(a−3)x+4a에 x=−1을 대입하면 −1−(a²+a−1)+a(a−3)+4a=0이므로 x=−1은 항상 근입니다.

② 조립제법으로 인수분해 — 조립제법을 적용하면 (x+1){x²−(a²+a)x+4a}=0.

③ α, β, γ의 값을 경우로 나누기

(ⅰ) α=−1인 경우: α×γ=−4에서 γ=4. x=4를 이차식에 대입하면 16−4(a²+a)+4a=0 → (a−2)(a+2)=0 → a=2 또는 a=−2. a=2일 때 이차식 x²−6x+8=0 → (x−2)(x−4)=0 → β=2이므로 −1<2<4 ✓. a=−2일 때 이차식 x²−2x−8=0 → (x−4)(x+2)=0 → β=−2이므로 α<β<γ 불만족 ✗.

(ⅱ) β=−1인 경우: α, γ는 이차식의 서로 다른 두 실근. αγ=4a이고 αγ=−4 → 4a=−4 → a=−1. 이차식 x²−(a²+a)x+4a에 a=−1 대입 → x²=0? 확인하면 α=−2, γ=2 → −2<−1<2 ✓.

(ⅲ) γ=−1인 경우: αγ=−4에서 α=4. α<β<γ 불만족 ✗.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 a=2 또는 a=−1이므로 모든 a의 값의 합은 2+(−1)=1.

정답: ① 1.