마플시너지공수1답지 1122번 일등급 복소수 거듭제곱·주기 핵심 포인트

1122번은 7단원 고차방정식 일등급문제(최다빈출)로, 두 복소수 z, ω의 거듭제곱 주기를 각각 구한 뒤, zⁿ=1이고 ωⁿ=1인 공통 조건에서 n의 개수를 구하는 문제입니다.

① zⁿ=1이 되는 최초의 자연수 n — z=(1−i)/(1+i)=(1−i)²/((1+i)(1−i))=(1−2i+i²)/2=−2i/2=−i. z=−i이므로 z⁴=(−i)⁴=1. 주기는 4.

② ωⁿ=1이 되는 최초의 자연수 n — ω=(1+√3i)/2. ω²=(−1+√3i)/2, ω³=ω²×ω=((−1+√3i)/2)×((1+√3i)/2)=(−1−√3i+√3i+3i²)/4=(−1−3)/4=−1. ω³=−1이므로 ω⁶=1. 주기는 6.

③ zⁿ+ωⁿ=2 조건 — zⁿ=1이고 ωⁿ=1이어야 합니다. zⁿ=1 → 4|n, ωⁿ=1 → 6|n. 따라서 n은 4와 6의 공배수인 12의 배수.

④ 1000 이하 자연수 n의 개수 — 1000÷12=83.3⋯이므로 83개.

정답: 83.