마플시너지공수1답지 1054번 TOUGH 등변사다리꼴·원, S²+8l=6720 핵심 포인트

1054번은 7단원 고차방정식 TOUGH(2021년 11월 고1 학평 29번)로, AD̄=4인 등변사다리꼴 ABCD에 대하여 선분 AB를 지름으로 하는 원과 선분 CD를 지름으로 하는 원이 오직 한 점에서 만날 때, S²+8l=6720을 만족하는 BD²을 구하는 문제입니다.

① STEP A · 좌표 설정 — 반지름 r로 놓으면 BC=4r−4, l=AB+BC+CD+AD=8r. DH²=16r−16(피타고라스).

② STEP B · S²+8l=6720에서 삼차방정식 유도 — S²=64r²(r−1)이므로 64r²(r−1)+64r=6720 → r³−r²+r−105=0.

③ 조립제법으로 풀기 — (r−5)(r²+4r+21)=0. r²+4r+21=0의 판별식 D=16−84<0이므로 실수근은 r=5뿐.

④ BD² 구하기 — r=5이면 BD²=BH²+DH²=(2r−4+4)²+(16r−16)=100+64=164.

정답: 164.