마플시너지공수1답지 1020번 TOUGH 삼차식 켤레근 활용 핵심 포인트

1020번은 7단원 고차방정식 TOUGH(최다빈출 왕중요)로, 계수가 실수인 삼차식 f(x)가 (가) x−4로 나누어떨어지고, (나) f(x)=0의 한 근이 2i일 때, f(2x)=0의 세 근의 곱을 구하는 문제입니다.

① STEP A · 켤레근 구하기 — 조건 (가)에서 나머지정리에 의하여 f(4)=0이므로 f(x)=0의 한 근은 4입니다. 조건 (나)에서 삼차방정식의 계수가 실수이므로, 한 근이 2i이면 다른 한 근은 −2i입니다.

② STEP B · f(2x)=0의 세 근의 곱 구하기 — f(x)=0의 근이 4, 2i, −2i이므로 f(x)=a(x−4)(x−2i)(x+2i)(a≠0)로 놓을 수 있습니다. f(2x)=a(2x−4)(2x−2i)(2x+2i)=8a(x−2)(x−i)(x+i)이므로, f(2x)=0의 세 근은 2, i, −i입니다. 세 근의 곱은 2×i×(−i) = 2×1 = 2입니다.

정답: ⑤번 (2).