마플시너지공수1답지 1015번 TOUGH 삼차방정식 근의 역수 핵심 포인트

1015번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제(2014년 6월 고1 학평 12번)로, 삼차방정식 x³+2x²+3x+1=0의 세 근 α, β, γ에 대해 1/α, 1/β, 1/γ을 세 근으로 갖는 삼차방정식을 구하고 p+f(2)를 계산하는 문제입니다.

① STEP A: 삼차방정식의 근의 성질을 이용하여 빈칸 추론 — α가 x³+2x²+3x+1=0의 한 근이므로 α³+2α²+3α+1=0. α≠0이므로 양변을 α³으로 나누면 (1/α)³ + (가)×(1/α)² + 2(1/α) + 1 = 0. 따라서 (가) = 3이고, 1/α은 x³+3x²+2x+1=0의 한 근입니다.

② 같은 방법으로 β, γ도 처리 — β, γ도 x³+2x²+3x+1=0의 근이므로, 같은 과정을 통해 1/β, 1/γ 역시 x³+3x²+2x+1=0의 근입니다.

③ STEP B: p+f(2) 값 구하기 — 따라서 p=3, f(x) = x³+3x²+2x+1. f(2) = 8+12+4+1 = 25이므로 p+f(2) = 3+25 = 28 → ①번.