마플시너지공수1답지 0991번 TOUGH P(x)=x⁴+x²−n²−n 보기 판단 핵심 포인트

0991번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제(2019년 9월 학평 20번)로, 9 이하 자연수 n에 대해 P(x)=x⁴+x²−n²−n일 때 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참거짓을 판단하는 문제입니다.

① 인수분해 — x⁴+x²−n²−n = x⁴+x²−n(n+1) = (x²−n)(x²+n+1). x²+n+1>0(항상)이므로 P(x)=0의 실근은 x²=n, 즉 x=±√n뿐입니다.

② ㄱ. P(√n)=0 [참] — (√n)⁴+(√n)²−n²−n = n²+n−n²−n = 0.

③ ㄴ. 실근의 개수 2 [참] — x=√n, x=−√n 두 개(n≥1이므로 서로 다름). x²+n+1=0은 실근 없음.

④ ㄷ. P(k)≠0인 모든 n의 합 31 [참] — P(k)=(k²−n)(k²+n+1)=0이려면 n=k²이어야. 9 이하 완전제곱수 n=1,4,9를 제외한 n=2,3,5,6,7,8의 합 = 31.

옳은 것: ㄱ, ㄴ, ㄷ → ⑤번.