마플시너지공수1답지 0990번 TOUGH 사차방정식 인수분해·보기 판단 핵심 포인트

0990번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제로, x⁴ − 7x² + 9 = 0의 한 근 α에 대해 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참거짓을 판단하는 문제입니다. A²−B² 변형으로 인수분해하는 것이 핵심입니다.

① 인수분해 — x⁴−7x²+9 = (x²−3)²−x² = (x²+x−3)(x²−x−3) = 0. 한 근 α → α²+α−3=0 또는 α²−α−3=0, 즉 α²+α=3 또는 α²−α=3.

② ㄱ. α²+α=3 만족하는 α 존재 [참] — x²+x−3=0의 근이 α가 되면 성립.

③ ㄴ. α−3/α=1 만족하는 α 존재 [참] — α²−α−3=0에서 α≠0이므로 양변을 α로 나누면 α−3/α=1.

④ ㄷ. 두 음의 근 p, q의 합 p+q=−√13 [참] — x⁴−7x²+9=0의 두 음의 근은 (−1−√13)/2, (1−√13)/2이고 합 = −√13.

옳은 것: ㄱ, ㄴ, ㄷ → ⑤번.