마플시너지공수1답지 0985번 TOUGH 사차방정식 치환·허근 핵심 포인트

0985번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제로, (x²−4x+3)(x²−6x+8) = 120의 한 허근을 ω라 할 때 ω²−5ω를 구하는 문제입니다. 두 이차식에 공통으로 x²−5x가 포함되어 치환이 핵심입니다.

① 치환 준비 — (x−1)(x−3)(x−2)(x−4) = (x²−5x+4)(x²−5x+6) = 120. X = x²−5x로 놓으면 (X+4)(X+6) = 120, X²+10X−96 = 0, (X−6)(X+16) = 0이므로 X = 6 또는 X = −16.

② 사차방정식 분해 — x²−5x = 6 → x²−5x−6 = 0 → (x+1)(x−6) = 0 (실근). x²−5x = −16 → x²−5x+16 = 0, D = 25−64 < 0 (허근).

③ ω²−5ω 계산 — ω는 x²−5x+16 = 0의 근이므로 ω²−5ω+16 = 0, 따라서 ω²−5ω = −16. (①번)