마플시너지공수1답지 0969번 TOUGH 세 근 음수 조건 핵심 포인트

0969번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제로, 삼차방정식 x³ + 6x² + (k+5)x + k = 0의 세 근이 모두 음수가 되도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하는 문제입니다. 조립제법으로 인수분해 후 이차방정식의 근의 조건 3가지를 동시에 만족시킵니다.

① 인수분해 — f(−1) = −1 + 6 − k − 5 + k = 0이므로 x + 1이 인수입니다. 조립제법으로 f(x) = (x + 1)(x² + 5x + k)입니다.

② x = −1은 이미 음수이므로, x² + 5x + k = 0의 두 근도 모두 음수여야 합니다. 세 가지 조건을 세웁니다.

③ 세 조건 — (ⅰ) 판별식 D = 25 − 4k ≥ 0 → k ≤ 25/4. (ⅱ) 두 근의 합 = −5 < 0 ✓ (자동 만족). (ⅲ) 두 근의 곱 = k > 0 → k > 0.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 0 < k ≤ 25/4입니다. (③번)